BIJEKTIV FUNKTION: HVAD ER DET, HVORDAN GØRES DET, EKSEMPLER, ØVELSER - MATEMATIK - 2025

En bijektiv funktion er en, der opfylder den dobbelte betingelse af at være injektionsmiddel og surektiv. Det vil sige, alle elementer i domænet har et enkelt billede i codomain, og i drej codomain er lig med rang af funktionen (R _f).

Det opfyldes ved at overveje en en-til-en-forbindelse mellem elementerne i domænet og codomain. Et simpelt eksempel er funktionen F: R → R defineret af linjen F (x) = x

Kilde: Forfatter

Det bemærkes, at der for hver værdi af domænet eller startsættet (begge udtryk gælder ens) der er et enkelt billede i kodomæne eller ankomstsæt. Derudover er der intet andet element i kodomænet end billede.

På denne måde er F: R → R defineret af linjen F (x) = x bijektiv

Hvordan laver du en bijektiv funktion?

For at besvare dette er det nødvendigt at være klar over koncepterne, der vedrører en funktions injektivitet og overjektivitet, samt kriterierne for konditioneringsfunktioner for at tilpasse dem til kravene.

Injektivitet af en funktion

En funktion er injektiv, når hvert af elementerne i dets domæne er relateret til et enkelt element i codomain. Et element i kodomænet kan kun være billedet af et enkelt element i domænet, på denne måde kan værdierne for den afhængige variabel ikke gentages.

Følgende skal overholdes for at overveje en funktion injektiv:

∀ x ₁ ≠ x ₂ ⇒ F (x ₁) ≠ F (x ₂)

En funktions overvågning

En funktion klassificeres som surektiv, hvis hvert element i dets kodomæne er et billede af mindst et element af domænet.

At overveje en funktion surjektiv, skal følgende være opfyldt:

Lad F: D _f → C _f

∀ b ℮ C _f E a ℮ D _f / F (a) = b

Dette er den algebraiske måde at bestemme, at for hver “b”, der hører til _Cf, er der et “a”, der hører til _Df, så funktionen, der evalueres i “a”, er lig med ”b”.

Funktionskonditionering

Undertiden kan en funktion, der ikke er bijektiv, underkastes visse betingelser. Disse nye forhold kan gøre det til en bijektiv funktion. Alle former for ændringer til funktionens domæne og kodomæne er gyldige, hvor målet er at opfylde egenskaberne injektivitet og surjektivitet i det tilsvarende forhold.

Eksempler: løste øvelser

Øvelse 1

Lad funktionen F: R → R defineres af linjen F (x) = 5x +1

EN:

Det bemærkes, at der for hver værdi af domænet der er et billede i codomain. Dette billede er unikt, hvilket gør F til en injektionsfunktion. På samme måde observerer vi, at codomain for funktionen er lig dens rang. Dermed opfylder betingelsen for surjektivitet.

At være injektiv og surektiv på samme tid kan vi konkludere med

F: R → R defineret af linjen F (x) = 5x +1 er en bijektiv funktion.

Dette gælder for alle lineære funktioner (Funktioner, hvis største variabel er en).

Øvelse 2

Lad funktionen F: R → R defineres med F (x) = 3x ² - 2

Når man tegner en vandret linje, observeres det, at grafen findes ved mere end én lejlighed. På grund af dette er funktionen F ikke injektiv, og den vil derfor ikke være bijektiv, så længe den er defineret i R → R

Tilsvarende er der codomain-værdier, der ikke er billeder af noget element i domænet. På grund af dette er funktionen ikke objektiv, hvilket også fortjener at konditionere ankomstsættet.

Vi fortsætter med at konditionere funktionens domæne og kodomæne

F: →

Hvor det observeres, at det nye domæne dækker værdierne fra nul til positiv uendelig. Undgå gentagelse af værdier, der påvirker injektivitet.

Ligeledes er kodomænet blevet ændret, der tæller fra "-2" til positiv uendelighed, hvilket fjerner de værdier, der ikke svarede til noget element i domænet fra codomain

På denne måde kan det sikres, at F : → defineret af F (x) = 3x ² - 2

Det er bijektiv

Øvelse 3

Lad funktionen F: R → R defineres af F (x) = Sen (x)

I intervallet varierer sinusfunktionen sine resultater mellem nul og en.

Kilde: Forfatter.

Funktionen F svarer ikke til kriterierne for injektivitet og surktivitet, fordi værdierne for den afhængige variabel gentages hvert interval af π. Endvidere er betingelserne for kodomænet uden for intervallet ikke et billede af noget element i domænet.

Når man studerer grafen for funktionen F (x) = Sen (x), observeres intervaller, hvor kurvenes opførsel opfylder kriterierne for bijektivitet. Som for eksempel intervallet D _f = for domænet. Og C _f = for codomain.

Hvor funktionen varierer resultater fra 1 til -1, uden at gentage nogen værdi i den afhængige variabel. Og på samme tid er codomainet lig med de værdier, der er vedtaget af udtrykket Sen (x)

Funktionen F: → defineret af F (x) = Sen (x). Det er bijektiv

Øvelse 4

Angiv de nødvendige betingelser for _Df og C _f. Så udtrykket

F (x) = -x ² være bijektiv.

Kilde: Forfatter

Gentagelsen af ​​resultater observeres, når variablen tager modsatte værdier:

F (2) = F (-2) = -4

F (3) = F (-3) = -9

F (4) = F (-4) = -16

Domænet er betinget, hvilket begrænser det til højre side af den rigtige linje.

D _f =

På samme måde observeres det, at intervalet for denne funktion er intervallet, som, når man fungerer som et kodomæne, opfylder betingelserne for surjektivitet.

På denne måde kan vi konkludere med det

Udtrykket F: → defineret af F (x) = -x ² Det er bijektiv

Foreslåede øvelser

Kontroller, om følgende funktioner er bijektiv:

F: → R defineret af F (x) = 5ctg (x)

F: → R defineret af F (x) = Cos (x - 3)

F: R → R defineret af linjen F (x) = -5x + 4

Referencer

1. Introduktion til logik og kritisk tænkning. Merrilee H. Salmon. University of Pittsburgh
2. Problemer i matematisk analyse. Piotr Biler, Alfred Witkowski. University of Wroclaw. Polen.
3. Elementer af abstrakt analyse. Mícheál O'Searcoid PhD. Institut for matematik. University college Dublin, Beldfield, Dublind 4
4. Introduktion til logik og metodikken for deduktive videnskaber. Alfred Tarski, New York Oxford. Oxford University presse.
5. Principper for matematisk analyse. Enrique Linés Escardó. Redaktionel Reverté S. A 1991. Barcelona Spanien.