TRÆGHEDSMOMENT: FORMLER, LIGNINGER OG BEREGNINGSEKSEMPLER - FYSISK - 2025

Den Inertimomentet af et stift legeme med hensyn til en bestemt rotationsakse repræsenterer dets modstand mod at ændre sin vinkelhastighed omkring aksen. Det er proportionalt med massen og også placeringen af ​​rotationsaksen, da kroppen afhængigt af dens geometri lettere kan rotere omkring bestemte akser end i andre.

Antag, at et stort objekt (bestående af mange partikler) kan rotere rundt om en akse. Antag, at en kraft F virker, anvendt tangentielt på masseelementet im _i, der frembringer et moment eller et moment, givet af τ _net = by r _i x F _i. Vektoren r _jeg er placeringen af AM _i (se figur 2).

Figur 1. Inerti øjeblikke af forskellige figurer. Kilde: Wikimedia Commons.

Dette øjeblik er vinkelret på rotationsplanet (retning + k = forlader papiret). Da kraften og den radiale positionsvektor altid er vinkelret, forbliver tværproduktet:

τ _net = ∑ F _i r _i k = ∑ (Δm _i a _i) r _i k = ∑ Δm _i (a _i r _i) k

Figur 2. En partikel, der hører til et stift fast stof under rotation. Kilde: Serway, R. 2018. Physics for Science and Engineering. Bind 1. Cengage Learning.

Accelerationen a _i repræsenterer accelerationens tangentialkomponent, da den radiale acceleration ikke bidrager til drejningsmomentet. Som en funktion af vinkelaccelerationen α kan vi indikere, at:

Derfor ser netmomentet sådan ud:

τ _net = ∑ Δm _i (α r _i ²) k = (∑ r _i ² Δm _i) α k

Vinkelaccelerationen α er den samme for hele objektet, derfor påvirkes den ikke af underskriptet “i” og kan forlade summationen, som netop er det inerti-øjeblik, som objektet symboliseres med bogstavet I:

Dette er træghetsmomentet for en diskret massefordeling. Når fordelingen er kontinuerlig, erstattes summeringen med en integral, og becomesm bliver en massedifferensial dm. Integralet udføres over hele objektet:

Enhederne til træghetsmomentet i SI International System er kg xm ². Det er en skalær og positiv mængde, da det er produktet af en masse og kvadratet på en afstand.

Beregningseksempler

Et udvidet objekt, såsom en bjælke, disk, kugle eller andet, hvis densitet ρ er konstant og vel vidende om, at densiteten er massevolumenforholdet, skrives massedifferensen dm som:

Ved at udskifte det integrale i trækningsøjeblikket, har vi:

Dette er et generelt udtryk, der er gyldigt for et tredimensionelt objekt, hvis volumen V og position r er funktioner i de rumlige koordinater x, y og z. Bemærk, at densiteten er konstant uden for integralet.

Densiteten ρ er også kendt som bulktæthed, men hvis objektet er meget fladt, som et ark eller meget tyndt og smalt som en stang, kan andre former for densitet bruges, lad os se:

- For et meget tyndt ark er densiteten, der skal bruges σ, overfladetætheden (masse pr. Enhedsareal) og dA er arealdifferensen.

- Og hvis det er en tynd stang, hvor kun længden er relevant, bruges den lineære massetæthed λ og en længdedifferens i henhold til den akse, der bruges som reference.

I de følgende eksempler betragtes alle objekter som stive (ikke deformerbare) og har ensartet densitet.

Træningsøjeblik af en tynd stang i forhold til en akse, der passerer gennem dens centrum

Her skal vi beregne træghetsmomentet for en tynd, stiv, homogen stang, med længde L og masse M, med hensyn til en akse, der passerer gennem mediet.

For det første er det nødvendigt at etablere et koordinatsystem og opbygge en figur med den passende geometri som denne:

Figur 3. Geometri til beregning af tragtmomentet for en tynd stang i forhold til en lodret akse, der passerer gennem dens centrum. Kilde: F. Zapata.

X-aksen langs stangen og y-aksen blev valgt som rotationsakse. Proceduren for at etablere integralen kræver også, at man vælger en massedifferential på stangen, kaldet dm, som har en differentiel længde dx og er placeret i den vilkårlige position x i forhold til midten x = 0.

I henhold til definitionen af ​​lineær massetæthed λ:

Da densiteten er ens, hvilket er gyldigt for M og L, er den også gyldig for dm og dx:

På den anden side er masseelementet i position x, så ved at erstatte denne geometri i definitionen har vi et bestemt integral, hvis grænser er enderne af stangen i henhold til koordinatsystemet:

Udskiftning af den lineære tæthed λ = M / L:

For at finde stangens træghetsmoment i forhold til en anden rotationsakse, for eksempel en, der passerer gennem en af ​​dens ekstremer, kan du bruge Steiners teorem (se øvelse løst ved slutningen) eller udføre en direkte beregning svarende til den der vises her, men ændre geometrien korrekt.

Træghedsmoment for en disk med hensyn til en akse, der passerer gennem dens centrum

En meget tynd disk med ubetydelig tykkelse er en flad figur. Hvis massen er ensartet fordelt over hele overfladen af ​​område A, er massetætheden σ:

Både dm og dA svarer til massen og arealet af differentieringsringen vist i figuren. Vi antager, at hele samlingen drejer rundt om y-aksen.

Du kan forestille dig, at disken er sammensat af mange koncentriske ringe med radius r, hver med sit respektive treghedsmoment. Ved at tilføje bidragene fra alle ringene, indtil vi når radius R, vil vi have diskets samlede inertimoment.

Figur 4. Geometri til beregning af en inertis moment af en disk i forhold til den aksiale akse. Kilde: F. Zapata.

Hvor M repræsenterer hele massen på disken. Arealet af en disk afhænger af dens radius r som:

Aflede med hensyn til r:

Ved at erstatte ovenstående i definitionen af ​​I:

Ved at erstatte σ = M / (π.R ²) får vi:

Træningsmoment for en fast kugle omkring en diameter

En kugle med radius R kan betragtes som en række diske, der er stablet den ene oven på den anden, hvor hver disk med infinitesimal masse dm, radius r og tykkelse dz, har et treghedsmoment givet af:

For at finde denne forskel tog vi simpelthen formlen fra det foregående afsnit og substituerede henholdsvis d og r for M og R. En sådan disk kan ses i geometrien i figur 5.

Figur 5. Geometri til beregning af træghetsmomentet for en fast kugle med radius R med hensyn til en akse, der passerer gennem en diameter. Kilde: F. Zapata.

Ved at tilføje alle de uendelige treghedsmomenter af stablede diske opnås det totale inertimoment for kuglen:

Hvilket svarer til:

For at løse integralet skal du udtrykke dm korrekt. Som altid opnås det ud fra densiteten:

Volumenet af en differentiel disk er:

Højden på disken er tykkelsen dz, mens basens areal er πr ², derfor:

Og i stedet for det foreslåede integral ser det sådan ud:

Men inden integrering, skal det observeres, at r – diskens radius - afhænger af z og R – sfæreens radius, som det kan ses af figur 5. Brug af Pythagorean-sætningen:

Hvilket fører os til:

For at integrere over hele sfæren bemærker vi, at z varierer mellem –R og R, derfor:

At vide, at ρ = M / V = ​​M / endelig opnås, efter at have forenklet:

Træningsmoment for en solid cylinder i forhold til den aksiale akse

Til dette objekt bruges en metode, der ligner den, der anvendes til kuglen, kun denne gang er det lettere, hvis cylinderen kan forestille sig at være sammensat af cylindriske skaller med radius r, tykkelse dr og højde H, som om de var lagene af en løg..

Figur 6. Geometri til beregning af træghetsmomentet for en solid cylinder med radius R i forhold til den aksiale akse. Kilde: Serway, R. 2018. Physics for Science and Engineering. Volumen 1. Cengage.

Volumenet dV for et cylindrisk lag er:

Derfor er skallemassen:

Dette udtryk er substitueret i definitionen af ​​treghetsmoment:

Ovennævnte ligning indikerer, at cylinderens træghetsmoment ikke afhænger af dens længde, men kun af dens masse og radius. Hvis L skulle ændre sig, ville tragtmomentet omkring den aksiale akse forblive det samme. Af denne grund falder I af cylinderen sammen med den fra den tidligere beregnede tynde disk.

Træningsmoment for et rektangulært ark med hensyn til en akse, der passerer gennem dets centrum

Den vandrette y-akse er valgt som rotationsakse. Figuren herunder viser den geometri, der kræves for at gennemføre integrationen:

Figur 7. Geometri til beregning af træghetsmomentet for en rektangulær plade i forhold til en akse parallel med arket og passerer gennem dens centrum. Kilde: F. Zapata.

Arealelementet markeret med rødt er rektangulært. Dets område er base x højde, derfor:

Derfor er massedifferensen:

Hvad angår afstanden fra arealelementet til rotationsaksen, er det altid z. Vi erstatter alt dette i det integrerede fra treghetsmomentet:

Nu erstattes overflademassetætheden σ med:

Og det ser bestemt sådan ud:

Bemærk, at det er som den tynde bjælke.

Træghedsmoment for et firkantet ark med hensyn til en akse, der passerer gennem dets centrum

I et firkant med side L i det forrige udtryk, der er gyldigt for et rektangel, skal du blot erstatte værdien af ​​b for den af ​​L:

Momentet af treghedssætninger

Der er to særligt nyttige teoremer til at forenkle beregningen af ​​treghedsmomenter omkring andre akser, som ellers kunne være vanskelige at finde på grund af manglende symmetri. Disse sætninger er:

Steiner's sætning

Også kaldet den parallelle akses teorem, den angiver treghetsmomentet med hensyn til en akse med en anden, der passerer gennem objektets massepunkt, så længe akserne er parallelle. For at anvende det er det nødvendigt at kende afstanden D mellem begge akser og selvfølgelig objektets masse M.

Lad jeg _være inerti-øjeblikket for et objekt, der er forlænget med hensyn til z-aksen, I _CM momentet af inerti med hensyn til en akse, der passerer gennem massens centrum (CM) for nævnte objekt, så er det rigtigt, at:

Eller i notationen til følgende figur: I _{z '} = I _z + Md ²

Figur 8. Steiner's sætning eller parallelle akser. Kilde: Wikimedia Commons. Jack Se

Stilling vinkelret på akserne

Dette sætning anvendes på plane overflader og går sådan: Inerti-øjeblikket af et plant objekt omkring en akse vinkelret på det er summen af ​​treghedsmomenterne omkring to akser vinkelret på den første akse:

Figur 9. Vinkelrettede akses sætning. Kilde: F. Zapata.

Hvis objektet har symmetri, så at I _x og I _y er ens, er det sandt, at:

Træning løst

Find stangets træghetsmoment i forhold til en akse, der passerer gennem en af ​​dens ender, som vist i figur 1 (nedenfor og til højre) og figur 10.

Figur 10. Inertiens øjeblik af en homogen bjælke omkring en akse, der passerer gennem den ene ende. Kilde: F. Zapata.

Løsning:

Vi har allerede træghetsmomentet af stangen omkring en akse, der passerer gennem dets geometriske centrum. Da baren er homogen, er dens massecenter på det tidspunkt, så dette vil være vores I _CM til at anvende Steiners teorem.

Hvis længden af ​​stangen er L, er z-aksen i en afstand D = L / 2, derfor:

Referencer

1. Bauer, W. 2011. Fysik til ingeniørvidenskab og videnskaber. Bind 1. Mc Graw Hill. 313-340
2. Rex, A. 2011. Fundamentals of Physics. Pearson. 190-200.
3. Parallel akse teorem. Gendannes fra: hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
4. Serway, R. 2018. Fysik til videnskab og teknik. Volumen 1. Cengage.
5. Sevilla University. Kugleformet faststofmoment med træghed. Gendannes fra: laplace.us.es.
6. Sevilla University. Træghedsmoment for et partikelsystem. Gendannes fra: laplace.us.es.
7. Wikipedia. Parallelakse sætning. Gendannet fra: en.wikipedia.org