SAMMENSATTE TAL: EGENSKABER, EKSEMPLER, ØVELSER - MATEMATIK - 2025

De forbindelserne med numrene er de hele tal, der har mere end to delere. Hvis vi ser nøje, er alle tal i det mindste delbare nøjagtigt af sig selv og med 1. De, der kun har disse to opdelere, kaldes primater, og de, der har mere, er sammensatte.

Lad os se på tallet 2, som kun kan deles mellem 1 og 2. Tallet 3 har også to divisorer: 1 og 3. Derfor er de begge primære. Lad os nu se på tallet 12, som vi kan dele nøjagtigt med 2, 3, 4, 6 og 12. Ved at have 5 divisorer er 12 et sammensat tal.

Figur 1. Primtall i blåt kan kun repræsenteres af en enkelt række med prikker, ikke sammensatte tal i rødt. Kilde: Wikimedia Commons.

Og hvad sker der med nummer 1, den der deler alle de andre? Det er godt ikke, fordi det ikke har to opdelere, og det er ikke sammensat, derfor falder 1 ikke i nogen af ​​disse to kategorier. Men der er mange, mange flere numre, der gør.

Sammensatte tal kan udtrykkes som produktet af primtal, og dette produkt, bortset fra rækkefølgen af ​​faktorer, er unikt for hvert tal. Dette sikres ved den grundlæggende teorem om aritmetik, der er bevist af den græske matematiker Euclid (325-365 f.Kr.).

Lad os gå tilbage til nummer 12, som vi kan udtrykke på forskellige måder. Lad os prøve nogle:

12 = 4 x 3 = 2 x 6 = 12 x 1 = 2 ² x 3 = 3 x 2 ² = 3 x 2 x 2 = 2 x 2 x 3 = 2 x 3 x 2

De former, der er fremhævet med fed skrift, er produkter med primtal, og det eneste, der ændrer sig, er rækkefølgen af ​​faktorer, som vi ved ikke ændrer produktet. Selv om de er gyldige til at udtrykke 12, består de andre former ikke kun af primater.

Eksempler på sammensatte tal

Hvis vi ønsker at nedbryde et sammensat tal i dets primfaktorer, må vi opdele det mellem primtall på en sådan måde, at opdelingen er nøjagtig, det vil sige resten er 0.

Denne procedure kaldes primfaktorisering eller kanonisk nedbrydning. Primære faktorer kan hæves til positive eksponenter.

Vi vil nedbryde tallet 570 og bemærke, at det er jævnt og derfor deles med 2, som er et primtal.

Vi bruger en bjælke til at adskille tallet til venstre fra skillet til højre. De respektive kvotenter placeres under nummeret, når de er opnået. Nedbrydningen er fuldført, når det sidste tal i venstre kolonne er 1:

570 │2

285 │

Når man deler med 2, er kvoten 285, som kan deles med 5, et andet primtal, der slutter på 5.

570 │2

285 │5

57 │

57 kan deles med 3, også en prim, da summen af ​​dets cifre 5 + 7 = 12 er et multiplum af 3.

570 │2

285 │5

57 │3

19 │

Endelig får vi 19, som er et primtal, hvis divisorer er 19 og 1:

570 │2

285 │5

57 │3

19 │19

1 │

Ved at opnå 1 kan vi udtrykke 570 på denne måde:

570 = 2 x 5 x 3 x 19

Og vi ser, at det faktisk er produktet af 4 primtall.

I dette eksempel begyndte vi at dele med 2, men de samme faktorer (i en anden rækkefølge) ville være opnået, hvis vi startede med at dele med 5 for eksempel.

Figur 2. Kompositnummer 42 kan også nedbrydes ved hjælp af et træformet diagram. Kilde: Wikimedia Commons.

Opdelingskriterier

For at nedbryde et sammensat tal i dets primære faktorer er det nødvendigt at opdele det nøjagtigt. Kriterierne for deling mellem primtal er regler, der gør det muligt at vide, hvornår et tal er delbart nøjagtigt, uden at skulle prøve eller bevise.

- Delbarhed med 2

Alle lige tal, dem, der ender på 0 eller et lige antal, kan deles med 2.

- Delbarhed med 3

Hvis summen af ​​cifrene i et tal er et multiplum af 3, er antallet også og derfor delbart med 3.

- Delbarhed med 5

Tal, der slutter på 0 eller 5, kan deles med 5.

- Delbarhed med 7

Et tal kan deles med 7, hvis den resulterende værdi, når man adskiller det sidste ciffer, multiplicerer det med 2 og trækker det resterende tal, er et multiplum af 7.

Denne regel virker lidt mere kompliceret end de foregående, men i virkeligheden er den ikke så meget, så lad os se på et eksempel: vil 98 kunne deles med 7?

Lad os følge instruktionerne: vi adskiller det sidste tal, der er 8, vi multiplicerer det med 2, der giver 16. Det antal, der er tilbage, når vi adskiller 8 er 9. Vi trækker 16 - 9 = 7. Og da 7 er en multipel af sig selv, er 98 delbar mellem 7.

- Delbarhed med 11

Hvis summen af ​​figurerne i jævn position (2, 4, 6…) trækkes fra summen af ​​figurerne i ulige position (1, 3, 5, 7…) og 0 eller et multipel på 11 opnås, er tallet deles med 11.

De første multipla af 11 kan let identificeres: de er 11, 22, 33, 44… 99. Men vær forsigtig, 111 er ikke, i stedet er 110.

Lad os som et eksempel se, om 143 er et multiplum af 11.

Dette tal har 3 cifre, det eneste lige ciffer er 4 (det andet), de to ulige cifre er 1 og 3 (første og tredje), og deres sum er 4.

Begge summer trækkes fra: 4 - 4 = 0, og da 0 opnås, viser det sig, at 143 er et multipel på 11.

-Divisibilitet med 13

Nummeret uden det ene ciffer skal trækkes fra 9 gange det ciffer. Hvis tællingen returnerer 0 eller et multiplum af 13, er antallet et multiplum af 13.

Som et eksempel vil vi verificere, at 156 er et multiplum af 13. Tallene er 6 og antallet, der forbliver uden det, er 15. Vi multiplicerer 6 x 9 = 54 og nu trækker vi fra 54 - 15 = 39.

Men 39 er 3 x 13, så 56 er et multiplum af 13.

Primtall til hinanden

To eller flere prim- eller sammensatte tal kan være prim- eller co-prim. Dette betyder, at den eneste fælles divisor, de har, er 1.

Der er to vigtige egenskaber, som skal huskes, når det kommer til coprimes:

-To, tre og flere på hinanden følgende tal er altid primære for hinanden.

-Det samme kan siges om to, tre eller flere på hinanden følgende ulige tal.

For eksempel er 15, 16 og 17 primtal for hinanden, og 15, 17 og 19 er også.

Hvordan man ved, hvor mange divisorer et sammensat antal har

Et primtal har to divisorer, det samme tal og 1. Og hvor mange divisors har et sammensat nummer? Disse kan være fætre eller forbindelser.

Lad N være et sammensat tal udtrykt i form af dets kanoniske nedbrydning som følger:

N = a ⁿ. b ^m. c ^p … r ^k

Hvor a, b, c… r er de primære faktorer og n, m, p… k de respektive eksponenter. Antallet af divisorer C, som N har, er angivet af:

C = (n +1) (m + 1) (p +1)… (k + 1)

Med C = prime divisors + sammensatte divisors + 1

For eksempel 570, der udtrykkes sådan:

570 = 2 x 5 x 3 x 19

Alle primære faktorer hæves til 1, derfor har 570:

C = (1 + 1) (1 + 1) (1+ 1) (1 +1) = 16 divisorer

Af disse 10 divisorer kender vi allerede: 1, 2, 3, 5, 19 og 570. Der mangler 10 flere divisors, som er sammensatte tal: 6, 10, 15, 30, 38, 57, 95, 114, 190 og 285. De findes ved at observere nedbrydningen i primære faktorer og også multiplicere kombinationer af disse faktorer sammen.

Løst øvelser

- Øvelse 1

Nedbryd følgende tal i primære faktorer:

a) 98

b) 143

c) 540

d) 3705

Løsning på

98 │2

49 │7

7 │7

1 │

98 = 2 x 7 x 7

Løsning b

143 │11

13 │13

1 │

143 = 11 x 13

Opløsning c

540 │5

108 │2

54 │2

27 │3

9 │3

3 │3

1 │

540 = 5 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 5 x 2 ² x 3 ³

Opløsning d

3705 │5

741 │3

247 │13

19 │19

1 │

3705 = 5 x 3 x 13 x 19

- Øvelse 2

Find ud af, om følgende tal er primære for hinanden:

6, 14, 9

Løsning

-Delingerne af 6 er: 1, 2, 3, 6

-Som for 14 kan det deles med: 1, 2, 7, 14

-Finalt 9 har som divisorer: 1, 3, 9

Den eneste divisor, de har til fælles, er 1, derfor er de vigtigste for hinanden.

Referencer

1. Baldor, A. 1986. Aritmetik. Editions and Distribution Codex.
2. Byju s. Primære og sammensatte tal. Gendannes fra: byjus.com.
3. Primære og sammensatte tal. Gendannes fra: profeyennyvivaslapresentacion.files.wordpress.com
4. Smartick. Opdelingskriterier. Gendannes fra: smartick.es.
5. Wikipedia. Sammensatte tal. Gendannet fra: en.wikipedia.org.