HVAD ER NUMMERET PÅ PRANDTL? (VÆRDIER I GASSER OG VÆSKER) - FYSISK - 2025

Det Prandtl tal, forkortet Pr, er en dimensionsløs mængde, der relaterer diffusiviteten af det momentum, gennem den kinematiske viskositet ν (græsk bogstav, der læses ”nu”) af en væske, med dens termiske diffusivitet α i form af kvotient:

Figur 1. Den tyske ingeniør Ludwig Prandtl i sit Hannover-laboratorium i 1904. Kilde: Wikimedia Commons.

Med hensyn til fluidviskositetskoefficienten eller dynamisk viskositet μ, den specifikke varme af fluidet _Cp og dens koefficient for varmeledningsevne K, udtrykkes Prandtl-tallet også matematisk som følger:

Denne mængde er opkaldt efter den tyske forsker Ludwig Prandtl (1875–1953), der gav store bidrag til fluidmekanik. Prandtl-nummeret er et af de vigtige tal til modellering af strømmen af ​​væsker og især måden, hvor varme overføres i dem ved konvektion.

Fra den givne definition følger det, at Prandtl-tallet er et kendetegn for væsken, da det afhænger af dets egenskaber. Gennem denne værdi kan væskens evne til at overføre momentum og varme sammenlignes.

Naturlig og tvungen konvektion i væsker

Varme overføres gennem et medium ved hjælp af forskellige mekanismer: konvektion, ledning og stråling. Når der er bevægelse på det makroskopiske niveau af væsken, dvs. der er massiv bevægelse af væsken, overføres varmen hurtigt i den gennem konvektionsmekanismen.

På den anden side, når den dominerende mekanisme er ledning, sker bevægelsen af ​​væsken på mikroskopisk niveau, enten atomisk eller molekylær, afhængig af fluidtypen, men altid langsommere end ved konvektion.

Hastigheden på væsken og det strømningsregime, den har - laminær eller turbulent - påvirker også dette, fordi jo hurtigere det bevæger sig, jo hurtigere er varmeoverførslen også.

Konvektion forekommer naturligt, når væske bevæger sig på grund af en forskel i temperatur, for eksempel når en masse varm luft stiger og en anden af ​​kold luft falder ned. I dette tilfælde taler vi om naturlig konvektion.

Men konvektion kan også tvinges ved hjælp af en ventilator til at tvinge luften til at strømme, eller en pumpe til at sætte vandet i bevægelse.

Hvad angår væsken, kan det cirkulere gennem et lukket rør (lukket fluid), et åbent rør (såsom en kanal for eksempel) eller en åben overflade.

I alle disse situationer kan Prandtl-nummeret bruges til at modellere varmeoverførsel sammen med andre vigtige numre inden for fluidmekanik, såsom Reynolds-nummer, Mach-nummer, Grashoff-nummer, antal af Nusselt, ruhed eller ruhed af røret og mere.

Vigtige definitioner i varmeoverførsel i en væske

Ud over væskens egenskaber griber overfladens geometri også ind i transporten af ​​varme, samt typen af ​​strømning: laminær eller turbulent. Da Prandtl-nummeret involverer adskillige definitioner, er her en kort oversigt over de vigtigste:

Dynamisk viskositet

Det er den naturlige resistens af en væske til at strømme på grund af de forskellige interaktioner mellem dens molekyler. Det betegnes μ, og dets enheder i det internationale system (SI) er Ns / m ² (newton x sekund / kvadratmeter) eller Pa.s (pascal x sekund), kaldet poise. Det er meget højere i væsker end i gasser og afhænger af væskens temperatur.

Kinematisk viskositet

Det betegnes som ν (græsk bogstav, der læses "nu") og er defineret som forholdet mellem den dynamiske viskositet μ og densiteten ρ for en væske:

Dens enheder er m ² / s.

Varmeledningsevne

Det defineres som materialernes evne til at lede varme gennem dem. Det er en positiv mængde, og dens enheder er Wm / K (watt x meter / kelvin).

Specifik varme

Mængde varme, der skal tilføjes til 1 kg stof for at hæve dens temperatur med 1 ºC.

Termisk diffusivitet

Er defineret som:

Enhederne til termisk diffusivitet er de samme som for kinematisk viskositet: m ² / s.

Matematisk beskrivelse af varmeoverførsel

Der er en matematisk ligning, der modellerer transmission af varme gennem væsken, i betragtning af at dens egenskaber som viskositet, densitet og andre forbliver konstant:

T er temperaturen, en funktion af tiden t og af positionsvektoren r, medens a er den førnævnte termiske diffusivitet og Δ er den laplaciske operator. I kartesiske koordinater ser det sådan ud:

ujævnhed

Roughness og uregelmæssigheder på overfladen, gennem hvilken væsken cirkulerer, for eksempel på den indvendige flade af det rør, gennem hvilket vandet cirkulerer.

Laminar strømning

Det henviser til en væske, der flyder i lag på en glat og ordnet måde. Lagene blandes ikke sammen, og væsken bevæger sig langs såkaldte strømlinjer.

Figur 2. Røgsøjlen har et laminært regime i begyndelsen, men derefter vises volutter, der indikerer et turbulent regime. Kilde: Pixabay.

Turbulent strømning

I dette tilfælde bevæger væsken sig på en uordentlig måde, og dens partikler danner hvirvel.

Prandtl-talværdier i gasser og væsker

I gasser er størrelsesordenen for både kinematisk viskositet og termisk diffusivitet angivet af produktet af partiklernes gennemsnitlige hastighed og den gennemsnitlige frie bane. Det sidstnævnte er værdien af ​​den gennemsnitlige afstand, som et gasmolekyle har rejst mellem to kollisioner.

Begge værdier er meget ens, derfor er antallet af Prandtl Pr tæt på 1. For eksempel for luft Pr = 0,7. Dette betyder, at både momentum og varme overføres omtrent lige så hurtigt i gasser.

I flydende metaller er Pr imidlertid mindre end 1, da frie elektroner leder varme meget bedre end momentum. I dette tilfælde er v mindre end α og Pr <1. Et godt eksempel er flydende natrium, der bruges som kølemiddel i atomreaktorer.

Vand er en mindre effektiv varmeleder med Pr = 7 såvel som tyktflydende olier, hvis Prandtl-tal er meget højere, og kan nå 100.000 for tunge olier, hvilket betyder, at varme overføres i dem med meget langsomt sammenlignet med momentum.

Tabel 1. Størrelsesorden for Prandtl-tallet for forskellige væsker

Væske	v (m 2 / s)	a (m 2 / s)	pr
Terrestrisk mantel	10 17	10 -6	10 23
Indre lag af solen	10 -2	10 2	10 -4
Jordens atmosfære	10 -5	10 -5	en
Ocean	10 -6	10 -7	10

Eksempel

De termiske diffusiviteter af vand og luft ved 20 ºC er henholdsvis 0,00142 og 0,208 cm ² / s. Find Prandtl-numrene for vand og luft.

Løsning

Definitionen givet i begyndelsen gælder, da udsagnet giver værdierne af α:

Og hvad angår værdierne for ν, kan de findes i en tabel med egenskaber for væsker, ja, vi må være forsigtige med, at v er i de samme enheder af α, og at de er gyldige ved 20 ºC:

ν _luft = 1.51x 10 ^-5 m ² / s = 0,151 cm ² / s; ν _vand = 1,02 x 10 ^-6 m ² / s = 0,0102 cm ² / s

Dermed:

Pr (luft) = 0,151 / 0,208 = 0,726; Pr (vand) = 0,0102 / 0,00142 = 7,18

Referencer

1. Organisk kemi. Emne 3: konvektion. Gendannes fra: pi-dir.com.
2. López, JM 2005. Løste problemer med væskemekanik. Schaum-serien. McGraw Hill.
3. Shaugnessy, E. 2005. Introduktion til væskemekanik. Oxford University Press.
4. Thorne, K. 2017. Moderne klassisk fysik. Princeton og Oxford University Press.
5. UNET. Transportfenomener. Gendannes fra: unet.edu.ve.
6. Wikipedia. Prandtl-nummer. Gendannet fra: en.wikipedia.org.
7. Wikipedia. Varmeledningsevne. Gendannet fra: en.wikipedia.org.
8. Wikipedia. Viskositet. Gendannet fra: es.wikipedia.org.