PERMUTATIONER UDEN GENTAGELSE: FORMLER, BEVIS, ØVELSER, EKSEMPLER - DUDAS - 2025

En permutation uden gentagelse af n elementer er de forskellige grupper af forskellige elementer, der kan opnås ved ikke at gentage noget element, kun varierende rækkefølgen af ​​elementernes placering.

For at finde ud af antallet af permutationer uden gentagelse bruges følgende formel:

Pn = n!

Hvilken udvidet ville være Pn = n! = n (n - 1) (n - 2)… (2) (1).

Så i det foregående praktiske eksempel ville det blive anvendt som følger:

P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 forskellige 4-cifrede tal.

Disse er de 24 arrays i alt: 2468, 2486, 2648, 2684, 2846, 2864, 4268, 4286, 4628, 4682, 4826, 4862, 6248, 6284, 6428, 6482, 6824, 6842, 8246, 8264, 8426, 8462, 8624, 8642.

Som det kan ses, er der under ingen omstændigheder nogen gentagelse, idet det er 24 forskellige numre.

Demo og formler

24 Arrangementer af 4 forskellige figurer

Vi vil analysere mere specifikt eksemplet på de 24 forskellige 4-cifrede arrangementer, der kan dannes med cifrene i tallet 2468. Antallet af arrangementer (24) kan kendes som følger:

Du har 4 indstillinger til at vælge det første ciffer, der efterlader 3 indstillinger for at vælge det andet. To cifre er allerede indstillet, og der er stadig 2 muligheder for at vælge det tredje ciffer. Det sidste ciffer har kun én valgmulighed.

Derfor opnås antallet af permutationer, der er betegnet med P4, ved hjælp af produktet af valgmulighederne i hver position:

P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 forskellige 4-cifrede tal

Generelt er antallet af forskellige permutationer eller arrangementer, der kan udføres med alle n-elementerne i et givet sæt:

Pn = n! = n (n - 1) (n - 2)… (2) (1)

Udtrykket n! det er kendt som n factorial og betyder produktet af alle de naturlige tal, der ligger mellem tallet n og nummer et, inklusive begge.

12 Arrangementer af 2 forskellige figurer

Antag nu, at du vil vide antallet af permutationer eller tocifrede tal, der kan dannes med cifrene i tallet 2468.

Disse ville være i alt 12 arrangementer: 24, 26, 28, 42, 46, 48, 62, 64, 68, 82, 84, 86

Du har 4 muligheder for at vælge det første ciffer, der efterlader 3 cifre for at vælge det andet. Derfor opnås antallet af permutationer af de 4 cifre taget to for to, betegnet med 4P2, ved hjælp af produktet af valgmulighederne i hver position:

4P2 = 4 * 3 = 12 forskellige 2-cifrede tal

Generelt er antallet af forskellige permutationer eller arrangementer, der kan udføres med r-elementer af n i alt i et givet sæt:

nPr = n (n - 1) (n - 2)…

Ovenstående udtryk trunkeres før du spiller n !. For at afslutte n! derfra skal vi skrive:

n! = n (n - 1) (n - 2)… (n - r)… (2) (1)

De faktorer, som vi tilføjer, repræsenterer på sin side en faktorial:

(n - r)… (2) (1) = (n - r)!

Dermed, n! = n (n - 1) (n - 2)… (n - r)… (2) (1) = n (n - 1) (n - 2)… (n - r)!

Herfra

n! / (n - r)! = n (n - 1) (n - 2)… = nPr

eksempler

Eksempel 1

Hvor mange forskellige bogstaver med 5 bogstaver kan konstrueres med bogstaverne i ordet KEY?

Vi ønsker at finde antallet af forskellige bogstavkombinationer på 5 bogstaver, der kan bygges med de 5 bogstaver i ordet KEY; det vil sige antallet af 5-bogstavsarrangementer, der involverer alle de tilgængelige bogstaver i ordet KEY.

Antal ° bogstavsord = P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 forskellige 5-bogstavskombinationer.

Disse ville være: CLAVE, VELAC, LCAEV, VLEAC, ECVLAC… op til 120 forskellige bogstavkombinationer i alt.

Eksempel 2

Du har 15 nummererede bolde, og du vil vide, hvor mange forskellige grupper på 3 bolde kan bygges med de 15 nummererede bolde?

Du vil finde antallet af grupper på 3 bolde, der kan laves med de 15 nummererede bolde.

Antal grupper på 3 kugler = 15P3 = 15! / (15 - 3)!

Antal grupper på 3 kugler = 15 * 14 * 13 = 2730 grupper med 3 kugler

Løst øvelser

Øvelse 1

En frugtbutik har en udstillingsstand, der består af en række rum, der er placeret i entréen til lokalet. På en dag køber grønthandlen til salg: appelsiner, bananer, ananas, pærer og æbler.

a) Hvor mange forskellige måder har du for at bestille udstillingsstanden?

b) Hvor mange forskellige måder har du til at bestille standen, hvis du ud over de nævnte frugter (5), du har modtaget den dag: mango, ferskner, jordbær og druer (4)?

a) Vi ønsker at finde antallet af forskellige måder at bestille alle frugterne i displayet række; det vil sige antallet af arrangementer på 5 frugtartikler, der involverer alle de frugter, der er tilgængelige til salg den dag.

Antal standarrangementer = P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Antal standarrangementer = 120 måder at præsentere standen på

b) Vi ønsker at finde antallet af forskellige måder at bestille alle frugterne i displayraden, hvis der blev tilføjet yderligere 4 varer; det vil sige antallet af arrangementer på 9 frugtartikler, der involverer alle de frugter, der er tilgængelige til salg den dag.

Antal standarrangementer = P9 = 9! = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Antal standarrangementer = 362.880 måder at præsentere standen på

Øvelse 2

Et lille fødevarebutik har en grund med tilstrækkelig plads til at parkere 6 køretøjer.

a) Hvor mange forskellige måder at bestille køretøjer på grunden kan vælges?

b) Antag, at der erhverves en sammenhængende grund, hvis dimensioner gør det muligt at parkere 10 køretøjer. Hvor mange forskellige former for køretøjsarrangement kan man vælge nu?

a) Vi vil finde antallet af forskellige måder at bestille de 6 køretøjer, der kan huse på grunden.

Antal arrangementer af de 6 køretøjer = P6 = 6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Antal arrangementer af de 6 køretøjer = 720 forskellige måder at bestille de 6 køretøjer på grunden.

b) Vi ønsker at finde antallet af forskellige måder at bestille de 10 køretøjer, der kan huse på grunden efter udvidelsen af ​​jordgrunden.

Antallet af arrangementer af de 10 køretøjer = P10 = 10!

Antal køretøjsarrangementer = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Antal arrangementer af de 10 køretøjer = 3.628.800 forskellige måder at bestille de 10 køretøjer på grunden.

Øvelse 3

En blomsterhandler har blomster i 6 forskellige farver til at fremstille blomster flag af nationer, der kun har 3 farver. Hvis det vides, at rækkefølgen af ​​farver er vigtig i flagene, a) Hvor mange forskellige flag med 3 farver kan laves med de 6 tilgængelige farver?

b) Sælgeren køber blomster af 2 ekstra farver til de 6, han allerede havde, hvor mange forskellige flag på 3 farver kan man nu lave?

c) Da du har 8 farver, beslutter du dig for at udvide dit sortiment af flag.Hvor mange forskellige 4-farve flag kan du lave?

d) Hvor mange af 2 farver?

a) Vi ønsker at finde antallet af forskellige flag med 3 farver, der kan laves ved at vælge blandt de 6 tilgængelige farver.

Antallet af 3-farve flag = 6P3 = 6! / (6 - 3)!

Antal ° 3-farve flag = 6 * 5 * 4 = 120 flag

b) Du ønsker at finde antallet af forskellige flag med 3 farver, der kan laves ved at vælge blandt de 8 tilgængelige farver.

Antallet af 3-farve flag = 8P3 = 8! / (8 - 3)!

Antallet af 3-farve flag = 8 * 7 * 6 = 336 flag

c) Antallet af forskellige 4-farve flag, der kan laves ved at vælge blandt de 8 tilgængelige farver, skal beregnes.

Antal 4-farve flag = 8P4 = 8! / (8 - 4)!

Antal 4-farve flag = 8 * 7 * 6 * 5 = 1680 flag

d) Du ønsker at bestemme antallet af forskellige 2-farve flag, der kan laves ved at vælge blandt de 8 tilgængelige farver.

Antallet af 2-farve flag = 8P2 = 8! / (8 - 2)!

Antal flag i 2 farver = 8 * 7 = 56 flag

Referencer

1. Boada, A. (2017). Brug af permutation med gentagelse som undervisning i eksperimenter. Vivat Academia Magazine. Gendannes fra researchgate.net.
2. Canavos, G. (1988). Sandsynlighed og statistik. Anvendelser og metoder. McGraw-Hill / Interamericana de México SA de CV
3. Glas, G.; Stanley, J. (1996). Statistiske metoder, der ikke anvendes til samfundsvidenskab. Prentice Hall Hispanoamericana SA
4. Spiegel, M.; Stephens, L. (2008). Statistikker. Fjerde udgave McGraw-Hill / Interamericana de México SA
5. Walpole, R.; Myers, R.; Myers, S.; Ja, Ka. (2007). Sandsynlighed og statistik for ingeniører og forskere. Ottende udgave Pearson Education International Prentice Hall.
6. Webster, A. (2000). Statistikker anvendt for erhvervslivet og økonomien. Tredje udgave McGraw-Hill / Interamericana SA
7. (2019). Permutation. Gendannet fra en.wikipedia.org.