BETINGET SANDSYNLIGHED: FORMEL OG LIGNINGER, EGENSKABER, EKSEMPLER - DUDAS

Den betingede sandsynlighed er muligheden for forekomst af en bestemt begivenhed, i betragtning af at en anden forekommer som en betingelse. Denne yderligere information kan (eller måske ikke) ændre opfattelsen af, at noget vil ske.

For eksempel kan vi spørge os selv: "Hvad er sandsynligheden for, at det regner i dag, i betragtning af at det ikke har regnet i to dage?" Den begivenhed, som vi gerne vil vide sandsynligheden for, er, at det regner i dag, og de yderligere oplysninger, der vil betinget svaret, er, at "det har ikke regnet i to dage."

Figur 1. Sandsynligheden for, at det regner i dag, da det regnede i går, er også et eksempel på betinget sandsynlighed. Kilde: Pixabay.

Lad et sandsynlighedsrum være sammensat af Ω (prøverum), ℬ (de tilfældige begivenheder) og P (sandsynligheden for hver begivenhed) plus de begivenheder A og B, der hører til ℬ.

Den betingede sandsynlighed for, at A forekommer, i betragtning af at B forekom, som betegnes som P (A│B), er defineret som følger:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A og B) / P (B)

Hvor: P (A) er sandsynligheden for forekomst af A, P (B) er sandsynligheden for hændelse B og er forskellig fra 0, og P (A∩B) er sandsynligheden for krydset mellem A og B, det vil sige,, sandsynligheden for, at begge begivenheder opstår (fælles sandsynlighed).

Dette er et udtryk for Bayes 'sætning anvendt på to begivenheder, foreslået i 1763 af den engelske teolog og matematiker Thomas Bayes.

Ejendomme

-Alle betingede sandsynligheder er mellem 0 og 1:

0 ≤ P (A│B) ≤ 1

-Sandsynligheden for, at begivenhed A finder sted, i betragtning af at nævnte begivenhed finder sted, er åbenlyst 1:

P (A│A) = P (A∩A) / P (A) = P (A) / P (A) = 1

-Hvis to begivenheder er eksklusive, det vil sige begivenheder, der ikke kan ske samtidigt, er den betingede sandsynlighed for, at en af dem sker, 0, da skæringspunktet er nul:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = 0 / P (B) = 0

-Hvis B er en undergruppe af A, er den betingede sandsynlighed også 1:

P (BAA) = P (A∩B) / P (A) = 1

Vigtig

P (A│B) er generelt ikke lig med P (B│A), derfor må vi være forsigtige med ikke at udveksle begivenhederne, når vi finder den betingede sandsynlighed.

Generel regel om multiplikation

Mange gange vil du finde den fælles sandsynlighed P (A∩B) snarere end den betingede sandsynlighed. Derefter har vi gennem følgende sætning:

P (A∩B) = P (A og B) = P (A│B). P (B)

Sætningen kan udvides til tre begivenheder A, B og C:

P (A∩B∩C) = P (A og B og C) = P (A) P (B│A) P (C│A∩B)

Og også for forskellige begivenheder, såsom A ₁, A ₂, A ₃ og mere, kan det udtrykkes som følger:

P (A ₁ ∩ A ₂ ∩ A ₃… ∩ A _n) = P (A ₁). P (A ₂ │A ₁). P (A ₃ │A ₁ ∩ A ₂)… P (A _n ││A ₁ ∩ A ₂ ∩… A _n-1)

Når det er tilfældet med begivenheder, der opstår i rækkefølge og gennem forskellige faser, er det praktisk at organisere dataene i et diagram eller en tabel. Dette gør det lettere at visualisere mulighederne for at nå den ønskede sandsynlighed.

Eksempler er trædiagrammet og beredskabstabellen. Fra den ene af dem kan du bygge den anden.

Eksempler på betinget sandsynlighed

Lad os se på nogle situationer, hvor sandsynligheden for en begivenhed ændres af forekomsten af en anden:

- Eksempel 1

To typer kager sælges i en sød butik: jordbær og chokolade. Ved at registrere præferencerne for 50 klienter af begge køn blev følgende værdier bestemt:

-27 kvinder, hvoraf 11 foretrækker jordbærkage og 16 chokolade.

-23 mænd: 15 vælger chokolade og 8 jordbær.

Sandsynligheden for, at en kunde vælger en chokoladekage, kan bestemmes ved at anvende Laplaces regel, ifølge hvilken sandsynligheden for en begivenhed er:

P = antal gunstige begivenheder / samlet antal begivenheder

I dette tilfælde foretrækker ud af 50 kunder i alt 31 chokolade, så sandsynligheden vil være P = 31/50 = 0,62. Det vil sige, 62% af kunderne foretrækker chokoladekage.

Men ville det være anderledes, hvis klienten er en kvinde? Dette er et tilfælde af betinget sandsynlighed.

Beredskabstabel

Ved hjælp af en beredskabstabel som denne vises totalerne let:

Derefter observeres de gunstige tilfælde, og Laplaces regel anvendes, men først definerer vi begivenhederne:

-B er den "kvindelige kunde" begivenhed.

-En er begivenheden "foretrækker chokoladekage" som kvinde.

Vi går til søjlen mærket "kvinder", og der ser vi, at det samlede beløb er 27.

Derefter søges det gunstige tilfælde i rækken "chokolade". Der er 16 af disse begivenheder, derfor er den ønskede sandsynlighed direkte:

P (AB) = 16/27 = 0,5924

59,24% af de kvindelige kunder foretrækker chokoladekage.

Denne værdi matcher, når vi kontrasterer den med den oprindeligt givne definition af betinget sandsynlighed:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B)

Vi sørger for at bruge Laplaces regel og tabelværdierne:

P (B) = 27/50

P (A og B) = 16/50

Hvor P (A og B) er sandsynligheden for, at kunden foretrækker chokolade og er en kvinde. Nu erstattes værdierne:

P (A│B) = P (A og B) / P (B) = (16/50) / (27/50) = 16/27 = 0,5924.

Og det er bevist, at resultatet er det samme.

- Eksempel 2

I dette eksempel gælder reglen om multiplikation. Antag, at der er bukser i tre størrelser, der vises i en butik: lille, mellemstor og stor.

I et parti med i alt 24 bukser, hvoraf der er 8 i hver størrelse og alle er blandet, hvad er sandsynligheden for at udtrække to af dem, og at begge var små?

Det er tydeligt, at sandsynligheden for at fjerne en lille buks ved første forsøg er 8/24 = 1/3. Nu er den anden ekstraktion betinget af den første begivenhed, da når man fjerner et par bukser, er der ikke længere 24, men 23. Og hvis en lille buks fjernes, er der 7 i stedet for 8.

Begivenhed A trækker en lille bukser, efter at have trukket en anden ved første forsøg. Og begivenhed B er den med de små bukser første gang. Dermed:

P (B) = 1/3; P (A│B) = 7/24

Endelig ved hjælp af multiplikationsreglen:

P (A∩B) = (7/24). (1/3) = 7/72 = 0,097

Træning løst

I en undersøgelse af punktlighed på kommercielle flyvninger er følgende data tilgængelige:

-P (B) = 0,83, er sandsynligheden for, at et plan starter i tide.

-P (A) = 0,81, er sandsynligheden for landing på tid.

-P (B∩A) = 0,78 er sandsynligheden for, at flyvningen ankommer i tide, hvor tiden starter.

Det anmodes om at beregne:

a) Hvad er sandsynligheden for, at flyet lander i tide, da det startede i tide?

b) Er ovenstående sandsynlighed den samme som sandsynligheden for, at du forlod i tide, hvis du formåede at lande til tiden?

c) Og til sidst: hvad er sandsynligheden for, at det vil komme frem til tiden, da det ikke forlader til tiden?

Figur 2. Punktlighed på kommercielle flyvninger er vigtig, da forsinkelser skaber millioner i tab. Kilde: Pixabay.

Løsning på

For at besvare spørgsmålet bruges definitionen af betinget sandsynlighed:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A og B) / P (B) = 0,78 / 0,83 = 0,9398

Løsning b

I dette tilfælde udveksles begivenhederne i definitionen:

P (BAA) = P (A∩B) / P (A) = P (A og B) / P (A) = 0,78 / 0,81 = 0,9630

Bemærk, at denne sandsynlighed er lidt anderledes end den foregående, som vi påpegede tidligere.

Opløsning c

Sandsynligheden for ikke at forlade tiden er 1 - P (B) = 1 - 0,83 = 0,17, vi vil kalde det P (B ^C), fordi det er den komplementære begivenhed at starte i tide. Den søgte betingede sandsynlighed er:

P (A│B ^C) = P (A∩B ^C) / P (B ^C) = P (A og B ^C) / P (B ^C)

På den anden side:

P (A∩B ^C) = P (landing på tid) - P (lander til tiden og starter i tide) = 0,81-0,78 = 0,03

I dette tilfælde er den krævede betingede sandsynlighed:

P (A│B ^C) = 0,03 / 0,17 = 0,1765

Referencer

Canavos, G. 1988. Sandsynlighed og statistik: Anvendelser og metoder. McGraw Hill.
Devore, J. 2012. Sandsynlighed og statistik for teknik og videnskab. 8.. Edition. Cengage.
Lipschutz, S. 1991. Schaum Series: Probability. McGraw Hill.
Obregón, I. 1989. Teorien om sandsynlighed. Redaktionel Limusa.
Walpole, R. 2007. Sandsynlighed og statistik for ingeniørvidenskab og videnskaber. Pearson.
Wikipedia. Betinget sandsynlighed. Gendannet fra: es.wikipedia.org.

BETINGET SANDSYNLIGHED: FORMEL OG LIGNINGER, EGENSKABER, EKSEMPLER - DUDAS - 2025