KRYDS PRODUKT: EGENSKABER, APPLIKATIONER OG ØVELSER - MATEMATIK - 2025

Den cross produkt eller vektoren produkt er en måde at multiplicere to eller flere vektorer. Der er tre måder at multiplicere vektorer på, men ingen af ​​disse er multiplikation i ordets almindelige forstand. En af disse former er kendt som et vektorprodukt, hvilket resulterer i en tredje vektor.

Korsproduktet, som også kaldes krydsproduktet eller det ydre produkt, har forskellige algebraiske og geometriske egenskaber. Disse egenskaber er meget nyttige, især hvad angår studiet af fysik.

Definition

En formel definition af vektorproduktet er følgende: Hvis A = (a1, a2, a3) og B = (b1, b2, b3) er vektorer, er vektorproduktet af A og B, som vi vil betegne som AxB,:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

På grund af AxB-notationen læses den som "Et kryds B".

Et eksempel på, hvordan man bruger det ydre produkt, er, at hvis A = (1, 2, 3) og B = (3, -2, 4) er vektorer, så bruger vi definitionen af ​​et vektorprodukt, vi har:

AxB = (1, 2, 3) x (3, -2, 4) = (2 * 4 - 3 * (- 2), 3 * 3 - 1 * 4, 1 * (- 2) - 2 * 3)

AxB = (8 + 6, 9 - 4, - 2 - 6) = (14, 5, - 8).

En anden måde at udtrykke vektorproduktet er givet ved noteringen af ​​determinanter.

Beregningen af ​​en anden ordensdeterminant gives ved:

Derfor kan formlen for krydsproduktet, der er angivet i definitionen, skrives om som følger:

Dette forenkles normalt til en tredje-ordens determinant som følger:

Hvor i, j, k repræsenterer vektorer, der danner grundlag for R ³.

Ved hjælp af denne måde at udtrykke krydsproduktet har vi, at det forrige eksempel kan omskrives som:

Ejendomme

Nogle egenskaber, som vektorproduktet besidder, er følgende:

Ejendom 1

Hvis A er som helst vektor i R ³, har vi:

- AxA = 0

- Ax0 = 0

- 0xA = 0

Disse egenskaber er lette at kontrollere ved kun at bruge definitionen. Hvis A = (a1, a2, a3) har vi:

AxA = (a2a3 - a3a2, a3a1 - a1a3, a1a2 - a2a1) = (0, 0, 0) = 0.

Ax0 = (a2 * 0 - a3 * 0, a3 * 0 - a1 * 0, a1 * 0 - a2 * 0) = (0, 0, 0) = 0.

Hvis i, j, k repræsenterer enheden base af R ³, kan vi skrive dem som følger:

i = (1, 0, 0)

j = (0, 1, 0)

k = (0, 0, 1)

Så vi har, at følgende egenskaber er sandt:

Som en mnemonisk regel bruges følgende cirkel ofte til at huske disse egenskaber:

Der skal vi bemærke, at enhver vektor med sig selv giver vektor 0 som et resultat, og resten af ​​produkterne kan fås med følgende regel:

Korsproduktet af to på hinanden følgende vektorer i urets retning giver den næste vektor; og når retningen mod uret betragtes, er resultatet den følgende vektor med et negativt tegn.

Takket være disse egenskaber kan vi se, at vektorproduktet ikke er kommutativt; skal du bare bemærke, at ixj ≠ jx i. Følgende egenskab fortæller os, hvordan AxB og BxA generelt er forbundet.

Ejendom 2

Hvis A og B er vektorer af R ³, har vi:

AxB = - (BxA).

Demonstration

Hvis A = (a1, a2, a3) og B = (b1, b2, b3), har vi som definition af eksternt produkt:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

= (- 1) (a3b2 - a2b3, a1b3 - a3b1, a2b1 - a1b2)

= (- 1) (BxA).

Vi kan også se, at dette produkt ikke er associeret med følgende eksempel:

ix (ixj) = ixk = - j men (ixi) xj = 0xj = 0

Fra dette kan vi se, at:

ix (ixj) ≠ (ixi) xj

Ejendom 3

Hvis A, B, C er vektorer af R ³ og r er et reelt tal, følgende er sande:

- Axe (B + C) = AxB + AxC

- r (AxB) = (rA) xB = Ax (rB)

Takket være disse egenskaber kan vi beregne vektorproduktet ved hjælp af algebra-lovgivningen, forudsat at ordren overholdes. For eksempel:

Hvis A = (1, 2, 3) og B = (3, -2, 4), kan vi omskrive dem i form af den kanoniske basis af R ³.

A = i + 2j + 3k og B = 3i - 2j + 4k. Anvend derefter de foregående egenskaber:

AxB = (i + 2j + 3k) x (3i - 2j + 4k)

= 3 (ixi) - 2 (ixj) + 4 (ixk) + 6 (jxi) - 4 (jxj) + 8 (jxk) + 9 (kxi) - 6 (kxj) +12 (kxk)

= 3 (0) - 2 (k) + 4 (- j) + 6 (- k) - 4 (0) + 8 (i) + 9 (j) - 6 (- i) +12 (0)

= - 2k - 4j - 6k + 8i + 9j + 6i = 14i + 5j - 4k

= (14, 5, - 8).

Ejendom 4 (triple dot produkt)

Som vi nævnte i starten, er der andre måder at multiplicere vektorer udover vektorproduktet. En af disse måder er det skalære produkt eller det indre produkt, der betegnes som A ∙ B, og hvis definition er:

Hvis A = (a1, a2, a3) og B = (b1, b2, b3), så er A ∙ B = a1b1 + a2b2 + a3b3

Egenskaben, der vedrører begge produkter, er kendt som det tredobbelte skalareprodukt.

Hvis A, B og C er vektorer af R ³, så er A ∙ BxC = AxB ∙ C

Lad os som et eksempel se, at givet A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) og C = (- 5, 1, - 4), er denne egenskab tilfreds.

BxC = - 3k - 12j + 20k - 16i - 10j - 2i = - 18i - 22j + 17k

A ∙ BxC = (1, 1, - 2) ∙ (- 18, - 22, 17) = (1) (- 18) + (1) (- 22) + (- 2) (17) = - 74

På den anden side:

AxB = 4k - 2j + 3k + 2i + 6j + 8i = 10i + 4j + 7k

AxB ∙ C = (10, 4, 7) ∙ (- 5, 1, - 4) = (10) (- 5) + (4) (1) + (7) (- 4) = - 74

Et andet tredobbelt produkt er Ax (BxC), der er kendt som det tredobbelte vektorprodukt.

Egenskab 5 (tredobbelt vektorprodukt)

Hvis A, B og C er vektorer af R ³, så:

Axe (BxC) = (A ∙ C) B - (A ∙ B) C

Lad os som et eksempel se, at givet A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) og C = (- 5, 1, - 4), er denne egenskab tilfreds.

Fra det forrige eksempel ved vi, at BxC = (- 18, - 22, 17). Lad os beregne Ax (BxC):

Øks (BxC) = - 22k - 17j + 18k + 17i + 36j - 44i = - 27i + 19j - 4k

På den anden side skal vi:

A ∙C = (1, 1, - 2) ∙ (- 5, 1, - 4) = (1) (- 5) + (1) (1) + (- 2) (- 4) = - 5 + 1 + 8 = 4

A ∙ B = (1, 1, - 2) ∙ (- 3, 4, 2) = (1) (- 3) + (1) (4) + (- 2) (2) = - 3 + 4 - 4 = - 3

Derfor er vi nødt til at:

(A ∙C) B - (A ∙ B) C = 4 (- 3, 4, 2) + 3 (- 5, 1, - 4) = (- 12, 16, 8) + (- 15, 3, - 12) = (- 27,19, –4)

Ejendom 6

Det er en af ​​de geometriske egenskaber hos vektorer. Hvis A og B er to vektorer i R ³ og Θ er dannet mellem dem, så vinkel:

--AxB-- = --A ---- B - sin (ϴ), hvor - ∙ - angiver modulet eller størrelsen af ​​en vektor.

Den geometriske fortolkning af denne egenskab er som følger:

Lad A = PR og B = PQ. Så den vinkel, der er dannet af vektorerne A og B, er vinklen P i trekanten RQP, som vist i den følgende figur.

Derfor er arealet af parallelogrammet, der har PR og PQ som tilstødende sider - A ---- B - sin (ϴ), da vi kan tage --A-- som en base og dens højde er givet af --B - synd (ϴ).

Derfor kan vi konkludere, at --xB-- er området for det nævnte parallelogram.

Eksempel

I betragtning af de følgende vertikater af en firkantet P (1, –2,3), Q (4, 3, –1), R (2, 2,1) og S (5,7, -3), viser, at det nævnte firkantede er et parallelogram og find dets område.

Til dette bestemmer vi først vektorerne, der bestemmer retningen for siderne på det firkantede. Dette er:

A = PQ = (1 - 4, 3 + 2, - 1 - 3) = (3, 5, - 4)

B = PR = (2 - 1, 2 + 2, 1 - 3) = (1, 4, - 2)

C = RS = (5 - 2, 7 - 2, - 3 - 1) = (3, 5, - 4)

D = QS = (5 - 4, 7 - 3, - 3 + 1) = (1, 4, - 2)

Som vi kan se, har A og C den samme instruktorvektor, som vi har, som begge er parallelle; det samme sker med B og D. Derfor konkluderer vi, at PQRS er et parallelogram.

For at have arealet af dette parallelogram beregner vi BxA:

BxA = (i + 4j - 2k) x (3i + 5j - 4k)

= 5k + 4j - 12k - 16i - 6j + 10i

= - 6i - 2j - 7k.

Derfor vil det firkantede område være:

--BxA-- ² = (- 6) ² + (- 2) ² + (- 7) ² = 36 + 4 + 49 = 89.

Det kan konkluderes, at parallelogramområdet vil være kvadratroden på 89.

Ejendom 7

To vektorer A og B er parallelle i R ³, hvis og kun hvis AxB = 0

Demonstration

Det er klart, at hvis A eller B er nullvektoren, overholdes det, at AxB = 0. Da nulvektoren er parallel med enhver anden vektor, er egenskaben gyldig.

Hvis ingen af ​​de to vektorer er nulvektoren, har vi, at deres størrelse er forskellig fra nul; det vil sige både --A-- ≠ 0 og --B-- ≠ 0, så vi vil have --AxB-- = 0 hvis og kun hvis synd (ϴ) = 0, og dette sker hvis og kun hvis ϴ = π eller ϴ = 0.

Derfor kan vi konkludere AxB = 0, hvis og kun hvis ϴ = π eller ϴ = 0, hvilket kun sker, når begge vektorer er parallelle med hinanden.

Ejendom 8

Hvis A og B er to vektorer i R ³, derefter AxB er vinkelret på både A og B.

Demonstration

Til dette bevis skal vi huske, at to vektorer er vinkelret på, hvis A ∙ B er lig med nul. Desuden ved vi, at:

A ∙ AxB = AxA ∙ B, men AxA er lig med 0. Derfor har vi:

A ∙ AxB = 0 ∙ B = 0.

På dette punkt kan vi konkludere, at A og AxB er vinkelret på hinanden. Analogt må vi:

AxB ∙ B = A ∙ BxB.

Da BxB = 0, har vi:

AxB ∙ B = A ∙ 0 = 0.

Derfor er AxB og B vinkelret på hinanden, og med dette demonstreres egenskaben. Dette er meget nyttigt for os, da de giver os mulighed for at bestemme ligningen for et plan.

Eksempel 1

Få en ligning af planet, der passerer gennem punkterne P (1, 3, 2), Q (3, - 2, 2) og R (2, 1, 3).

Lad A = QR = (2 - 3,1 + 2, 3 - 2) og B = PR = (2 - 1,1 - 3, 3 - 2). Derefter A = - i + 3j + k og B = i - 2j + k. For at finde det plan, der er dannet af disse tre punkter, er det nok at finde en vektor, der er normal for planet, der er AxB.

AxB = (- i + 3j + k) x (i - 2j + k) = 5i + 2j - k.

Med denne vektor og ved at tage punktet P (1, 3, 2), kan vi bestemme ligningens størrelse som følger:

(5, 2, - 1) ∙ (x - 1, y - 3, z - 2) = 5 (x - 1) + 2 (y - 3) - (z - 2) = 0

Således har vi, at ligningens størrelse er 5x + 2y - z - 9 = 0.

Eksempel 2

Find ligningen for det plan, der indeholder punktet P (4, 0, - 2), og det er vinkelret på hvert af planene x - y + z = 0 og 2x + y - 4z - 5 = 0.

At vide, at en normal vektor til en plan øks + med + cz + d = 0 er (a, b, c), vi har, at (1, -1,1) er en normal vektor af x - y + z = 0 y (2,1, - 4) er en normal vektor på 2x + y - 4z - 5 = 0.

Derfor skal en normal vektor til det søgte plan være vinkelret på (1, -1,1) og (2, 1, - 4). Denne vektor er:

(1, -1,1) x (2,1, - 4) = 3i + 6j + 3k.

Derefter har vi, at det søgte plan er det, der indeholder punktet P (4,0, - 2) og har vektoren (3,6,3) som en normal vektor.

3 (x - 4) + 6 (y - 0) + 3 (z + 2) = 0

x + 2y + z - 2 = 0.

Applikationer

Beregning af volumen af ​​en parallelepiped

Et program, der har det tredobbelte skalareprodukt, er i stand til at beregne volumen af ​​en parallelepiped, hvis kanter er givet af vektorerne A, B og C, som vist på figuren:

Vi kan udlede denne anvendelse på følgende måde: som vi sagde før, vektoren AxB er en vektor, der er normal for planet for A og B. Vi har også, at vektoren - (AxB) er en anden vektor, der er normal for nævnte plan.

Vi vælger den normale vektor, der danner den mindste vinkel med vektor C; Uden tab af generalitet skal AxB være den vektor, hvis vinkel med C er den mindste.

Vi har, at både AxB og C har det samme udgangspunkt. Vi ved endvidere, at det område af parallelogrammet, der danner basis for parallelepiped, er --xB--. Derfor, hvis højden af ​​parallelepiped er givet af h, har vi, at dens volumen vil være:

V = --AxB - h.

Lad os på den anden side overveje dot-produktet mellem AxB og C, som kan beskrives som følger:

Imidlertid har vi ved trigonometriske egenskaber, at h = --C - cos (ϴ), så vi har:

På denne måde har vi det:

Generelt har vi, at volumenet af en parallelepiped er angivet af den absolutte værdi af det tredobbelte skalæreprodukt AxB ∙ C.

Løst øvelser

Øvelse 1

Givet punkterne P = (5, 4, 5), Q = (4, 10, 6), R = (1, 8, 7) og S = (2, 6, 9), danner disse punkter en parallelpiped, hvis kanter de er PQ, PR og PS. Bestemm lydstyrken for den nævnte parallelepiped.

Løsning

Hvis vi tager:

- A = PQ = (-1, 6, 1)

- B = PR = (-4, 4, 2)

- C = PS = (-3, 2, 2)

Ved hjælp af den tredobbelt skalære produktegenskab har vi:

AxB = (-1, 6, 1) x (-4, 4, 2) = (8, -2, 20).

AxB ∙C = (8, -2, 20) ∙ (-3, 2, 2) = -24 -4 +80 = 52.

Derfor har vi, at volumenet af nævnte parallelepiped er 52.

Øvelse 2

Bestemm volumen for en parallelepiped, hvis kanter er givet af A = PQ, B = PR og C = PS, hvor punkterne P, Q, R og S er (1, 3, 4), (3, 5, 3), (2, 1, 6) og (2, 2, 5).

Løsning

Først har vi, at A = (2, 2, -1), B = (1, -2, 2), C = (1, -1, 1).

Vi beregner AxB = (2, 2, -1) x (1, -2, 2) = (2, -5, -6).

Derefter beregner vi AxB ∙ C:

AxB ∙ C = (2, -5, -6) ∙ (1, -1, 1) = 2 + 5 - 6 = 1.

Således konkluderer vi, at volumenet af den nævnte parallelepiped er 1 kubik.

Referencer

1. Leithold, L. (1992). Beregningen med analytisk geometri. HARLA, SA
2. Resnick, R., Halliday, D., & Krane, K. (2001). Fysik Vol. 1. Mexico: Kontinentalt.
3. Saenz, J. (nd). Vector Calculus 1ed. Hypotenusen.
4. Spiegel, MR (2011). Vectorial analyse 2ed. Mc Graw Hill.
5. Zill, DG, & Wright, W. (2011). Beregning af flere variabler 4ed. Mc Graw Hill.