KRAFTSERIER: EKSEMPLER OG ØVELSER - MATEMATIK - 2025

En kraftserie består af en sammenlægning af udtryk i form af magter af variablen x, eller mere generelt, af xc, hvor c er et konstant reelt tal. I summeringsnotation udtrykkes en række magter som følger:

Hvor koefficienterne a _o, a ₁, a ₂… er reelle tal, og serien begynder ved n = 0.

Figur 1. Definition af en kraftserie. Kilde: F. Zapata.

Denne serie er centreret om værdien c, der er konstant, men du kan vælge, at c er lig med 0, i hvilket tilfælde kraftserien forenkles til:

Serien starter med henholdsvis a _eller (xc) ⁰ og a _eller x ⁰. Men vi ved, at:

(xc) ⁰ = x ⁰ = 1

Derfor er en _o (xc) ⁰ = a _eller x ⁰ = a _o (uafhængig betegnelse)

Det gode ved kraftserier er, at funktioner kan udtrykkes med dem, og dette har mange fordele, især hvis du vil arbejde med en kompliceret funktion.

Når dette er tilfældet, i stedet for direkte at bruge funktionen, skal du bruge dens magtserieudvidelse, som kan være lettere at udlede, integrere eller arbejde numerisk.

Alt er selvfølgelig betinget af seriens konvergens. En serie konvergerer, når du tilføjer et bestemt stort antal udtryk, giver en fast værdi. Og hvis vi stadig tilføjer flere vilkår, fortsætter vi med at opnå den værdi.

Funktioner som Power Series

Som et eksempel på en funktion udtrykt som en kraftserie, lad os tage f (x) = e ^x.

Denne funktion kan udtrykkes i form af en række kræfter som følger:

og ^x ≈ 1 + x + (x ² /2!) + (x ³ /3!) + (x ⁴ /4!) + (x ⁵ /5!) +…

Hvor! = n. (N-1). (N-2). (n-3)… og det tager 0! = 1.

Vi vil tjekke ved hjælp af en lommeregner, at serien faktisk falder sammen med den funktion, der er givet eksplicit. Lad os for eksempel starte med at fremstille x = 0.

Vi ved, at e ⁰ = 1. Lad os se, hvad serien gør:

og ⁰ ≈ 1 + 0 + (0 ² /2!) + (0 ³ /3!) + (0 ⁴ /4!) + (0 ⁵ /5!) +… = 1

Og lad os prøve x = 1. En lommeregner returnerer e ¹ = 2.71828, og lad os derefter sammenligne med serien:

og ¹ ≈ 1 + 1 + (1 ² /2!) + (1 ³ /3!) + (1 ⁴ /4!) + (1 ⁵ /5!) +… = 2 + 0,5000 + 0,1667 + 0,0417 + 0,0083 +… ≈ 2.7167

Med kun 5 betingelser har vi allerede en nøjagtig match i e ≈ 2.71. Vores serie har bare lidt mere at gå, men efterhånden som flere udtryk tilføjes, konvergerer serien bestemt til den nøjagtige værdi af e. Repræsentationen er nøjagtig, når n → ∞.

Hvis den forrige analyse gentages for n = 2, opnås meget lignende resultater.

På denne måde er vi sikre på, at den eksponentielle funktion f (x) = e ^x kan repræsenteres af denne række af kræfter:

Figur 2. I denne animation kan vi se, hvordan kraftserien kommer tættere på den eksponentielle funktion, efterhånden som flere udtryk tages. Kilde: Wikimedia Commons.

Geometriske kræfter

Funktionen f (x) = e ^x er ikke den eneste funktion, der understøtter en kraftserie-repræsentation. F.eks. Ligner funktionen f (x) = 1/1 - x meget som den velkendte konvergente geometriske serie:

Det er nok at gøre a = 1 og r = x for at få en serie der er egnet til denne funktion, der er centreret ved c = 0:

Det er imidlertid kendt, at denne serie er konvergent for │r│ <1, derfor er repræsentationen kun gyldig i intervallet (-1,1), skønt funktionen er gyldig for alle x, undtagen x = 1.

Når du vil definere denne funktion i et andet interval, fokuserer du blot på en passende værdi, og du er færdig.

Sådan finder du seriens udvidelse af kræfter i en funktion

Enhver funktion kan udvikles i en kraftserie centreret om c, så længe den har derivater af alle ordrer ved x = c. Proceduren gør brug af følgende teorem, kaldet Taylor's teorem:

Lad f (x) være en funktion med derivater af orden n, betegnet som f ⁽ⁿ⁾, der indrømmer en serieudvidelse af magter i intervallet I. Hans serielle udvikling af Taylor er:

Så det:

Hvor R _n, hvilket er det n'te led i serien, kaldes en rest:

Når c = 0 kaldes serien Maclaurin-serien.

Denne serie, der er givet her, er identisk med den serie, der blev givet i begyndelsen, først nu har vi en måde til eksplicit at finde koefficienterne for hvert begreb, givet af:

Vi skal dog sikre, at serien konvergerer til den funktion, der skal repræsenteres. Det sker, at ikke alle Taylor-serier nødvendigvis konvergerer til f (x), der var i tankerne, når man beregner koefficienterne ved _n.

Dette sker fordi måske derivaterne af funktionen, der er vurderet ved x = c, falder sammen med den samme værdi af derivaterne fra en anden, også ved x = c. I dette tilfælde ville koefficienterne være de samme, men udviklingen ville være tvetydig, da det ikke er sikkert, hvilken funktion den svarer til.

Heldigvis er der en måde at vide:

Konvergenskriterium

For at undgå tvetydighed, hvis R _n → 0 som n → ∞ for alle x i intervallet I, konvergeres serien til f (x).

Dyrke motion

- Træning løst 1

Find den geometriske kraftserie for funktionen f (x) = 1/2 - x centreret ved c = 0.

Løsning

Den givne funktion skal udtrykkes på en sådan måde, at den falder så tæt som muligt med 1 / 1- x, hvis serie er kendt. Så lad os omskrive tæller og nævner uden at ændre det originale udtryk:

1/2 - x = (1/2) /

Da ½ er konstant, kommer den ud af summeringen, og den er skrevet i form af den nye variabel x / 2:

Bemærk, at x = 2 ikke hører til funktionens domæne, og ifølge konvergenskriteriet, der er angivet i afsnittet Geometrisk effekt, er udvidelsen gyldig for forx / 2│ <1 eller ækvivalent -2 <x <2.

- Træning løst 2

Find de første 5 udtryk i Maclaurin-seriens udvidelse af funktionen f (x) = sin x.

Løsning

Trin 1

Først er derivaterne:

-Derivativ af rækkefølge 0: det er den samme funktion f (x) = sin x

-Første derivat: (sin x) ´ = cos x

- Andet derivat: (sin x) ´´ = (cos x) ´ = - sin x

-Tredde derivat: (sin x) ´´´ = (-sen x) ´ = - cos x

-Fjerthederivat: (sin x) ´´´´ = (- cos x) ´ = sin x

Trin 2

Derefter evalueres hvert derivat ved x = c, ligesom en Maclaurin-ekspansion, c = 0:

synd 0 = 0; cos 0 = 1; - synd 0 = 0; -Cos 0 = -1; synd 0 = 0

Trin 3

Koefficienterne a _{n er konstrueret};

a _o = 0/0! = 0; a ₁ = 1/1! = 1; a ₂ = 0/2! = 0; a ₃ = -1 / 3 !; a ₄ = 0/4! = 0

Trin 4

Endelig er serien samlet efter:

sin x ≈ 0.x ⁰ + 1. x ¹ + 0.x ² - (1/3!) x ³ + 0.x ⁴… = x - (1/3!)) x ³ +…

Har læseren brug for flere vilkår? Hvor mange flere er serien tættere på funktionen.

Bemærk, at der er et mønster i koefficienterne, det næste ikke-nul-udtryk er _5, og alle dem med et ulige indeks er også forskellige fra 0, skiftevis tegnene, så:

sin x ≈ x - (1/3!)) x ³ + (1/5!)) x ⁵ - (1/7!)) x ⁷ +….

Det overlades til en øvelse for at kontrollere, at det konvergerer, kvotientkriteriet kan bruges til konvergens af serier.

Referencer

1. CK-12 Foundation. Power Series: repræsentation af funktioner og funktioner. Gendannet fra: ck12.org.
2. Engler, A. 2019. Integral Calculus. National Litoral University.
3. Larson, R. 2010. Beregning af en variabel. 9th. Edition. McGraw Hill.
4. Matematik Gratis tekster. Power-serien. Gendannes fra: math.liibretexts.org.
5. Wikipedia. Power-serien. Gendannet fra: es.wikipedia.org.