SANDSYNLIGHEDSAKSIOMER: TYPER, FORKLARING, EKSEMPLER, ØVELSER - DUDAS

De aksiomer af sandsynlighed er matematiske udsagn, der henviser til teorien om sandsynlighed, der ikke fortjener bevis. Axiomerne blev etableret i 1933 af den russiske matematiker Andrei Kolmogorov (1903-1987) i hans Fundament of Probability Theory og lagde grundlaget for den matematiske undersøgelse af sandsynlighed.

Når der udføres et vist tilfældigt eksperiment ξ, er prøvelokalet E sættet med alle mulige resultater af eksperimentet, også kaldet begivenheder. Enhver begivenhed betegnes som A og P (A) er sandsynligheden for dens forekomst. Derefter konstaterede Kolmogorov, at:

Figur 1. Axiomerne for sandsynlighed giver os mulighed for at beregne sandsynligheden for at ramme hasardspil såsom roulette. Kilde: Pixabay.

- Aksiom 1 (ikke-negativitet): sandsynligheden for, at enhver begivenhed A forekommer, er altid positiv eller nul, P (A) ≥0. Når sandsynligheden for en begivenhed er 0, kaldes den en umulig begivenhed.

- Axiom 2 (sikkerhed): Hver gang en begivenhed, der hører til E, er dens sandsynlighed for forekomst 1, som vi kan udtrykke som P (E) = 1. Dette er kendt som en bestemt begivenhed, da der helt sikkert er et resultat, når der udføres et eksperiment.

- Axiom 3 (tilføjelse): i tilfælde af to eller flere uforenelige hændelser to for to, kaldet A ₁, A ₂, A ₃…, er sandsynligheden for, at begivenheden A ₁ plus A ₂ plus A _{3 vil} forekomme og så videre successivt er det summen af sandsynlighederne for, at hver sker separat.

Dette er udtrykt ved: P (A ₁ AU ₂ AU ₃ U…) = P (A ₁) + P (A ₂) + P (A ₃) +…

Figur 2. Den bemærkelsesværdige russiske matematiker Andrei Kolmogorov (1903-1987), der lagde grundlaget for aksiomatisk sandsynlighed. Kilde: Wikimedia Commons.

Eksempel

Sandsynlighedens aksiomer anvendes i vid udstrækning i en lang række applikationer. For eksempel:

Et tommelstykke eller en stift kastes i luften, og når det falder på gulvet er der mulighed for at lande med punktet op (U) eller med punktet nede (D) (vi vil ikke overveje andre muligheder). Prøveområdet for dette eksperiment består af disse begivenheder, derefter E = {U, D}.

Figur 3. I eksperimentet med at kaste staven er der to begivenheder med forskellige sandsynligheder: landing med punktet opad eller mod jorden. Kilde: Pixabay.

Ved at anvende aksiomerne har vi:

Hvis det er lige sandsynligt, at det lander op eller ned, er P (U) = P (D) = ½ (Axiom 1). Imidlertid kan konstruktionen og designet af thumbtack gøre det mere sandsynligt, at det falder på en eller anden måde. F.eks. Kan det være, at P (U) = ¾, mens P (D) = ¼ (Axiom 1).

Bemærk, at summen af sandsynlighederne i begge tilfælde giver 1. Axiomene angiver imidlertid ikke, hvordan sandsynlighederne skal tildeles, i det mindste ikke helt. Men de angiver, at de er numre mellem 0 og 1, og at som i dette tilfælde er summen af alle 1.

Måder at tildele sandsynlighed

Sandsynlighedens aksiomer er ikke en metode til at tildele sandsynlighedsværdien. Til dette er der tre muligheder, der er kompatible med aksiomerne:

Laplace's regel

Hver begivenhed tildeles den samme sandsynlighed for at ske, og derefter defineres sandsynligheden for forekomst som:

For eksempel, hvad er sandsynligheden for at trække et ess fra et dæk med franske kort? Bunken har 52 kort, 13 af hver kulør, og der er 4 dragter. Hver dragt har 1 ess, så i alt er der 4 ess:

P (som) = 4/52 = 1/13

Laplace's regel er begrænset til begrænsede eksemplerum, hvor hver begivenhed er lige sandsynlig.

Relativ frekvens

Her skal eksperimentet være gentaget, da metoden er baseret på at udføre et stort antal gentagelser.

Lad os foretage i gentagelser af eksperimentet ξ, hvoraf vi finder ud af, at n er antallet af gange, at visse hændelser A forekommer, så er sandsynligheden for, at denne hændelse finder sted:

P (A) = lim _{i → ∞} (n / i)

Hvor n / i er den relative frekvens af en begivenhed.

Definition af P (A) på denne måde tilfredsstiller Kolmogorovs aksiomer, men har den ulempe, at mange test skal udføres for sandsynligheden for at være passende.

Subjektiv metode

En person eller en gruppe mennesker kan acceptere at tildele sandsynlighed til en begivenhed gennem deres egen vurdering. Denne metode har den ulempe, at forskellige mennesker kan tildele forskellige sandsynligheder til den samme begivenhed.

Træning løst

I eksperimentet med samtidig at kaste 3 ærlige mønter, opnå sandsynligheden for de beskrevne begivenheder:

a) 2 hoveder og en hale.

b) 1 hoved og to haler

c) 3 kryds.

d) Mindst 1 ansigt.

Løsning på

Hovederne er betegnet med C og halerne af X. Men der er flere måder at få to hoveder og en hale. For eksempel kan de to første mønter lande hoveder, og den tredje kan lande haler. Eller den første kan falde hoveder, den anden haler og den tredje hoveder. Og til sidst kan det første være haler og de resterende hoveder.

For at besvare spørgsmålene er det nødvendigt at kende alle de muligheder, der er beskrevet i et værktøj kaldet et trædiagram eller sandsynlighedstræ:

Figur 4. Trædiagram for samtidig kaste af tre ærlige mønter. Kilde: F. Zapata.

Sandsynligheden for, at en hvilken som helst mønt vil være hoveder, er ½, det samme gælder halerne, da mønten er ærlig. Den højre kolonne viser alle de muligheder, som kasteren har, det vil sige prøveområdet.

Fra prøveområdet vælges kombinationerne, der svarer til den ønskede begivenhed, da rækkefølgen af ansigterne ikke er vigtig. Der er tre gunstige begivenheder: CCX, CXC og XCC. Sandsynligheden for, at hver begivenhed sker, er:

P (CCX) = ½. ½. ½ = 1/8

Det samme sker for CXC og XCC begivenhederne, hver af dem har 1/8 sandsynlighed for at ske. Derfor er sandsynligheden for at få nøjagtigt 2 hoveder summen af sandsynligheden for alle gunstige begivenheder:

P (2-sidet) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8 = 0,375

Løsning b

At finde sandsynligheden for, at nøjagtigt to kryds forekommer, er et problem, der er analogt med det foregående, der er også tre gunstige begivenheder taget fra prøveområdet: CXX, XCX og XXC. Dermed:

P (2 kryds) = 3/8 = 0,375

Opløsning c

Intuitivt ved vi, at sandsynligheden for at få 3 haler (eller 3 hoveder) er lavere. I dette tilfælde er den søgte begivenhed XXX i slutningen af højre kolonne, hvis sandsynlighed er:

P (XXX) = ½. ½. ½ = 1/8 = 0,125.

Opløsning d

Det anmodes om at opnå mindst 1 flade, det betyder, at der kan komme ud 3 ansigter, 2 ansigter eller 1 flade. Den eneste uforenelige hændelse med dette er den, hvor 3 haler kommer ud, hvis sandsynlighed er 0,125. Derfor er den ønskede sandsynlighed:

P (mindst 1 hoved) = 1 - 0,125 = 0,875.

Referencer

Canavos, G. 1988. Sandsynlighed og statistik: Anvendelser og metoder. McGraw Hill.
Devore, J. 2012. Sandsynlighed og statistik for teknik og videnskab. 8.. Edition. Cengage.
Lipschutz, S. 1991. Schaum Series: Probability. McGraw Hill.
Obregón, I. 1989. Teorien om sandsynlighed. Redaktionel Limusa.
Walpole, R. 2007. Sandsynlighed og statistik for ingeniørvidenskab og videnskaber. Pearson.

SANDSYNLIGHEDSAKSIOMER: TYPER, FORKLARING, EKSEMPLER, ØVELSER - DUDAS - 2025