EULERS METODE: HVAD DEN ER TIL, PROCEDURE OG ØVELSER - MATEMATIK - 2025

Den Euler-metoden er den mest grundlæggende og enkle procedurer, der anvendes til at finde numeriske løsninger omtrentlige en almindelig differentialligning af den første orden, forudsat at den initiale betingelse er kendt.

En almindelig differentiel ligning (ODE) er ligningen, der relaterer en ukendt funktion af en enkelt uafhængig variabel med dens derivater.

På hinanden følgende tilnærmelser efter Eulers metode. Kilde: Oleg Alexandrov

Hvis det største derivat, der vises i ligningen, er af grad 1, er det en almindelig differentialligning for den første grad.

Den mest generelle måde at skrive en ligning på den første grad på er:

x = x ₀

y = y ₀

Hvad er Eulers metode?

Ideen med Eulers metode er at finde en numerisk løsning på differentialligningen i intervallet mellem X ₀ og X _f.

For det første skelnes intervallet i n + 1 punkter:

x ₀, x ₁, x ₂, x ₃…, x _n

Hvilke opnås således:

x _i = x ₀ + ih

Hvor h er bredden eller trinnet i delintervaller:

Med den første betingelse er det også muligt at kende derivatet i begyndelsen:

y '(x _o) = f (x _o, y _o)

Dette derivat repræsenterer hældningen af ​​tangentlinjen til kurven for funktionen y (x) nøjagtigt på punktet:

Ao = (x _o, y _o)

Derefter foretages en omtrentlig forudsigelse af værdien af ​​funktionen y (x) på følgende punkt:

y (x ₁) ≈ y ₁

y _{1 =} y _o + (x ₁ - x _o) f (x _o, y _o) = y _{o +} hf (x _o, y _o)

Det næste omtrentlige punkt på opløsningen er derefter opnået, hvilket vil svare til:

A ₁ = (x ₁, y ₁)

Proceduren gentages for at opnå de successive point

A ₂, A ₃…, x _n

I den figur, der er vist i begyndelsen, repræsenterer den blå kurve den nøjagtige opløsning af differentialligningen, og den røde repræsenterer de efter hinanden følgende omtrentlige punkter opnået ved Euler-proceduren.

Løst øvelser

Øvelse 1

I) Lad differentialligningen være:

Med den første betingelse x = a = 0; og _a = 1

Ved hjælp af Eulers metode, få en tilnærmet løsning af y ved koordinaten X = b = 0,5, idet intervallet er opdelt i n = 5 dele.

Løsning

De numeriske resultater opsummeres som følger:

Fra dette konkluderes, at opløsningen Y for værdien 0,5 er 1,4851.

Bemærk: Smath Studio, et gratis program til fri brug, er blevet brugt til at udføre beregningerne.

Øvelse 2

II) Fortsæt med differentialligningen fra øvelse I), find den nøjagtige løsning og sammenlign den med resultatet opnået ved Eulers metode. Find fejlen eller forskellen mellem det nøjagtige og det omtrentlige resultat.

Løsning

Den nøjagtige løsning er ikke særlig vanskelig at finde. Derivatet af funktionen sin (x) vides at være funktionen cos (x). Derfor vil løsningen y (x) være:

y (x) = sin x + C

For at den oprindelige betingelse skal være opfyldt og (0) = 1, skal konstanten C være lig med 1. Det nøjagtige resultat sammenlignes derefter med det omtrentlige:

Det konkluderes, at tilnærmelsen i det beregnede interval har tre signifikante tal for præcision.

Øvelse 3

III) Overvej differentialligningen og dens begyndelsesbetingelser givet nedenfor:

y '(x) = - y ²

Med den første betingelse x ₀ = 0; og ₀ = 1

Brug Eulers metode til at finde omtrentlige værdier for løsningen y (x) på intervallet x =. Brug trin h = 0,1.

Løsning

Eulers metode er meget velegnet til brug med et regneark. I dette tilfælde bruger vi geogebra-regnearket, et gratis og open source-program.

Regnearket i figuren viser tre kolonner (A, B, C), den første er variablen x, den anden kolonne repræsenterer variablen y, og den tredje kolonne er derivatet y '.

Række 2 indeholder de oprindelige værdier for X, Y, Y '.

Værdetrinnet 0.1 er placeret i den absolutte positionscelle ($ D $ 4).

Den oprindelige værdi af y0 er i celle B2, og y1 er i celle B3. Til beregning af y ₁ bruges formlen:

y _{1 =} y _o + (x ₁ - x _o) f (x _o, y _o) = y _{o +} hf (x _o, y _o)

Denne regnearksformel ville være nummer B3: = B2 + $ D $ 4 * C3.

Tilsvarende ville y2 være i celle B4, og dens formel er vist i den følgende figur:

Figuren viser også grafen for den nøjagtige løsning og punkterne A, B,…, P for den omtrentlige løsning ved Eulers metode.

Newtonsk dynamik og Eulers metode

Klassisk dynamik blev udviklet af Isaac Newton (1643 - 1727). Leonard Eulers oprindelige motivation (1707 - 1783) til at udvikle sin metode var netop at løse ligningen af ​​Newtons anden lov i forskellige fysiske situationer.

Newtons anden lov udtrykkes normalt som en differentialligning af anden grad:

Hvor x repræsenterer et objekts position på tidspunktet t. Nævnte genstand har en masse m og udsættes for en kraft F. Funktionen f er relateret til kraft og masse som følger:

For at anvende Eulers metode kræves de oprindelige værdier for tid t, hastighed v og position x.

Følgende tabel forklarer, hvordan man starter fra startværdierne t1, v1, x1, en tilnærmelse af hastigheden v2 og positionen x2 kan fås på det øjeblik t2 = t1 + Δt, hvor representst repræsenterer en lille stigning og svarer til trinnet i metoden til Euler.

Øvelse 4

IV) Et af de grundlæggende problemer i mekanikken er den af ​​en blok af masse M bundet til en fjeder (eller fjeder) med elastisk konstant K.

Newtons anden lov for dette problem ville se sådan ud:

I dette eksempel tager vi M = 1 og K = 1 for enkelhed. Find omtrentlige løsninger til positionen x og hastigheden v ved Eulers metode på tidsintervallet ved at opdele intervallet i 12 dele.

Tag 0 som det første øjeblik, indledende hastighed 0 og startposition 1.

Løsning

De numeriske resultater vises i følgende tabel:

Graferne over position og hastighed mellem tid 0 og 1,44 vises også.

Foreslåede øvelser til hjemmet

Øvelse 1

Brug et regneark til at bestemme en omtrentlig løsning ved hjælp af Eulers metode til differentialligningen:

y '= - Exp (-y) med de første betingelser x = 0, y = -1 i intervallet x =

Start med et 0,1 trin. Plott resultatet.

Øvelse 2

Brug et regneark til at finde numeriske løsninger til den følgende kvadratiske ligning, hvor y er en funktion af den uafhængige variabel t.

y '' = - 1 / y² med den første betingelse t = 0; og (0) = 0,5; y '(0) = 0

Find løsningen i intervallet ved hjælp af et trin på 0,05.

Plott resultatet: y vs t; y 'vs t

Referencer

1. Eurler-metode taget fra wikipedia.org
2. Euler solver. Taget fra en.smath.com