REELLE TAL: HISTORIE, EKSEMPLER, EGENSKABER, OPERATIONER - MATEMATIK - 2025

De reelle tal udgør det numeriske sæt, der inkluderer de naturlige tal, heltalene, det rationelle og det irrationelle. De er betegnet med symbolet ℝ eller simpelthen R, og deres omfang inden for videnskab, ingeniørvidenskab og økonomi er sådan, at når man taler om ”tal”, er det næsten for givet, at det er et reelt tal.

Reelle tal er blevet brugt siden gamle tider, selvom de ikke fik navnet. Allerede fra det tidspunkt, hvor Pythagoras udviklede sin berømte teorem, opstod der tal, som ikke kunne opnås som kvoter på naturlige tal eller heltal.

Figur 1. Venn-diagram, der viser, hvordan sættet med reelle tal indeholder de andre nummersæt. Kilde> Wikimedia Commons.

Eksempler på tal er √2, √3 og π. Disse tal kaldes irrationelle i modsætning til rationelle tal, der kommer fra kvoter med hele tal. Det var derfor nødvendigt et numerisk sæt, der omfatter begge klasser af tal.

Udtrykket "reelt tal" blev skabt af den store matematiker René Descartes (1596-1650) for at skelne mellem de to slags rødder, der kan opstå ved løsning af en polynom ligning.

Nogle af disse rødder kan endda være rødder af negative tal, Descartes kaldte disse "imaginære tal", og dem, der ikke var, var reelle tal.

Pålydende var vedvarende over tid og gav anledning til to store numeriske sæt: de reelle tal og de komplekse tal, et større sæt, der inkluderer reelle tal, imaginære tal og dem, der er del reelle og delvis imaginære.

Udviklingen af ​​reelle tal fortsatte sin kurs, indtil i 1872, matematikeren Richard Dedekind (1831-1936), formelt definerede mængden af ​​reelle tal gennem de såkaldte Dedekind-nedskæringer. Syntesen af ​​hans arbejde blev offentliggjort i en artikel, der så lyset samme år.

Eksempler på reelle tal

Tabellen nedenfor viser eksempler på reelle tal. Dette sæt har som undergrupper de naturlige tal, heltalene, det rationelle og det irrationelle. Ethvert antal af disse sæt er i sig selv et reelt tal.

Derfor er 0, negativer, positive, fraktioner og decimaler reelle tal.

Figur 2. Eksempler på reelle tal er naturlige, heltal, rationelle, irrationelle og transcendente. Kilde: F. Zapata.

Repræsentation af reelle tal på den rigtige linje

Reelle tal kan repræsenteres på den rigtige linje R, som vist på figuren. Det er ikke nødvendigt, at 0 altid er til stede, men det er praktisk at vide, at de negative realer er til venstre og de positive til højre. Derfor er det et fremragende reference.

På den rigtige linje tages en skala, hvor heltalene findes:… 3, -2, -1, 1, 2, 3…. Pilen viser, at linjen strækker sig til uendelig. Men det er ikke alt, i et betragtet interval, vil vi også altid finde uendelige reelle tal.

De reelle tal er repræsenteret i rækkefølge. Til at begynde med er der rækkefølgen af ​​heltalene, hvor positiverne altid er større end 0, mens negativerne er mindre.

Denne rækkefølge holdes inden for de reelle tal. Følgende uligheder er vist som et eksempel:

a) -1/2 <√2

b) e <π

c) π> -1/2

Figur 3.- Den rigtige linje. Kilde: Wikimedia Commons.

Egenskaber ved reelle tal

-Real tal inkluderer naturlige tal, heltal, rationelle tal og irrationelle tal.

-Den kommutative egenskab ved tilføjelse er opfyldt: rækkefølgen af ​​tilføjelser ændrer ikke summen. Hvis a og b er to reelle tal, er det altid sandt, at:

a + b = b + a

-0 er det neutrale element i summen: a + 0 = a

-For summen er den tilknyttede ejendom opfyldt. Hvis a, b og c er reelle tal: (a + b) + c = a + (b + c).

- Det modsatte af et reelt tal til er -a.

-Subtraktionen defineres som summen af ​​det modsatte: a - b = a + (-b).

-Produktets kommutative egenskab er opfyldt: rækkefølgen af ​​faktorer ændrer ikke produktet: ab = ba

-I produktet anvendes den tilknyttede egenskab også: (ab).c = a. (Bc)

-Den 1 er det neutrale element i multiplikationen: a.1 = a

-Den multiplikationsfordelende egenskab er gyldig med hensyn til tilføjelse: a. (b + c) = ab + ac

-Division med 0 er ikke defineret.

-Hver reelle tal a undtagen 0 har en multiplikativ invers på ^-1 sådan at aa ^-1 = 1.

-Hvis a er et reelt tal: a ⁰ = 1 og a ¹ = a.

-Den absolutte værdi eller modul for et reelt tal er afstanden mellem det nævnte tal og 0.

Handlinger med reelle tal

Med de reelle tal kan du udføre de handlinger, der udføres med de andre nummersæt, inklusive tilføjelse, subtraktion, multiplikation, opdeling, empowerment, radikering, logaritmer og mere.

Som altid er division med 0 ikke defineret, hverken er negative logaritmer af tal eller 0, selvom det er rigtigt, at log 1 = 0, og at logaritmer af tal mellem 0 og 1 er negative.

Applikationer

Anvendelsen af ​​reelle tal til alle slags situationer er ekstremt varieret. Reelle tal vises som svar på mange problemer inden for nøjagtig videnskab, datalogi, ingeniørvidenskab, økonomi og samfundsvidenskab.

Alle former for størrelser og mængder såsom afstande, tider, kræfter, lydstyrke, penge og mange flere har deres udtryk i reelle tal.

Overførslen af ​​telefonsignaler, billedet og lyden af ​​en video, temperaturen på et klimaanlæg, en varmeapparat eller et køleskab kan styres digitalt, hvilket betyder at omdanne fysiske mængder til numeriske sekvenser.

Det samme sker, når du foretager en banktransaktion via Internettet eller konsulterer onlinemeddelelser. De reelle tal er overalt.

Træning løst

Vi vil med øvelser se, hvordan disse tal fungerer i almindelige situationer, vi møder på daglig basis.

Øvelse 1

Postkontoret accepterer kun pakker, for hvilke længden plus omkretsmåling ikke overstiger 108 tommer. For at den viste pakke skal accepteres, skal det derfor opfyldes, at:

L + 2 (x + y) ≤ 108

a) Vil en pakke, der er 6 tommer bred, 8 tommer høj og 5 fod lang, klare den igennem?

b) Hvad med en der måler 2 x 2 x 4 ft ³ ?

c) Hvad er den højeste acceptable højde for en pakke, hvis base er kvadratisk og måler 9 x 9 tommer ² ?

Svar til

L = 5 fod = 60 tommer

x = 6 tommer

y = 8 tommer

Handlingen til at løse er:

L + 2 (x + y) = 60 + 2 (6 + 8) tommer = 60 + 2 x 14 tommer = 60 + 28 tommer = 88 tommer

Pakken accepteres.

Svar b

Dimensionerne på denne pakke er mindre end pakken a), så de begge klarer den igennem.

Svar c

I denne pakke:

x = L = 9 tommer

Det skal bemærkes, at:

9+ 2 (9 + y) <108

27 + 2y ≤ 108

2y ≤ 81

og ≤ 40,5 inches

Referencer

1. Carena, M. 2019. Pre-University Mathematics Manual. National Litoral University.
2. Diego, A. Reelle tal og deres egenskaber. Gendannes fra: matematica.uns.edu.ar.
3. Figuera, J. 2000. Matematik 9.. Grad. CO-BO-udgaver.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Stewart, J. 2006. Precalculus: Mathematics for Calculus. 5.. Edition. Cengage Learning.