ORTHOHEDRON: FORMLER, OMRÅDE, VOLUMEN, DIAGONAL, EKSEMPLER - MATEMATIK - 2025

Den orthohedron er en volumetrisk eller tredimensional geometrisk figur, der er karakteriseret ved at have seks rektangulære flader, således at de modstående flader er i parallelle planer og er identiske eller kongruente rektangler. På den anden side er ansigterne, der støder op til et givet flade, i plan vinkelret på det indledende flades.

Orthohedronen kan også betragtes som et ortogonalt prisme med en rektangulær base, hvor de dihedrale vinkler dannet af planerne på to flader, der støder op til en fælles kant, måler 90º. Den dihedrale vinkel mellem to flader måles på skæringspunktet mellem ansigterne med et lodret plan, der er fælles for dem.

Figur 1. Orthohedron. Kilde: F. Zapata med Geogebra.

Ligeledes er ortohedronen et rektangel parallelepiped, da det er sådan, at parallelepiped defineres som den volumetriske figur af seks flader, som er parallelle to for to.

I enhver parallelepiped er ansigterne parallelogrammer, men i den rektangulære parallelepiped skal ansigterne være rektangulære.

Dele af ortohedronen

Dele af en polyhedron, ligesom orthohedronen, er:

-Aristas

-Vertices

-Ansigter

Vinklen mellem to kanter af den ene flade af orthohedronen falder sammen med den dihedrale vinkel dannet af dens andre to flader, der støder op til hver af kanterne, og danner en ret vinkel. Følgende billede tydeliggør hvert koncept:

Figur 2. Dele af en ortohedron. Kilde: F. Zapata med Geogebra.

-I alt har en ortohedron 6 flader, 12 kanter og 8 hjørner.

-Vinklen mellem to kanter er en ret vinkel.

-Denhedrale vinkel mellem to ansigter er også korrekt.

-I hvert ansigt er der fire hjørner, og i hvert toppunkt er der tre indbyrdes ortogonale ansigter.

Orthohedron-formler

Areal

Overfladen eller området af en ortohedron er summen af ​​arealerne på dens flader.

Hvis de tre kanter, der mødes i et toppunkt, har målinger a, b og c, som vist i fig. 3, har frontfladen areal c⋅b, og bundfladen har også område c⋅b.

Derefter har de to sideflader område a⋅b hver. Og til sidst har gulv- og loftsfladerne et område hver gang.

Figur 3. Orthohedron med dimensioner a, b, c. Indvendig diagonal D og udvendig diagonal d.

Tilføjelse af området med alle ansigter giver:

At tage en fælles faktor og bestille ordene:

Bind

Hvis ortohedronen betragtes som et prisme, beregnes dens volumen således:

I dette tilfælde tages gulvet med dimensioner c og a som den rektangulære base, så basens område er c⋅a.

Højden er angivet ved længden b af kanterne vinkelret på siderne a og c.

Ved at multiplicere basens areal (a⋅c) med højden b giver volumen V for ortohedronen:

Indvendig diagonal

I en orthohedron er der to slags diagonaler: de ydre diagonaler og de indre diagonaler.

De udvendige diagonaler er på de rektangulære flader, mens de indre diagonaler er segmenterne, der forbinder to modsatte hjørner, idet de forstås af modsatte hjørner de, der ikke deler nogen kant.

I en orthohedron er der fire indre diagonaler, som alle er lige store. Længden af ​​de indre diagonaler kan opnås ved at anvende Pythagorean-sætningen på højre trekanter.

Længden d af den udvendige diagonal af ortohedrons gulveoverflade opfylder Pythagorean-forholdet:

d ² = en ² + c ²

Tilsvarende opfylder den indvendige diagonal af mål D det Pythagoreiske forhold:

D ² = d ² + b ².

Ved at kombinere de to foregående udtryk har vi:

D ² = a ² + c ² + b ².

Endelig er længden af ​​en hvilken som helst af de indre diagonaler i orthohedronen angivet med følgende formel:

D = √ (a ² + b ² + c ²).

eksempler

- Eksempel 1

En murer bygger en tank i form af en orthohedron, hvis indre dimensioner er: 6 mx 4 m i bunden og 2 m i højden. Det spørger:

a) Bestem den indvendige overflade af tanken, hvis den er helt åben øverst.

b) Beregn volumen på beholderens indvendige rum.

c) Find længden af ​​en indvendig diagonal.

d) Hvad er tankens kapacitet i liter?

Løsning på

Vi tager dimensionerne på den rektangulære base a = 4 m og c = 6 m og højden som b = 2 m

Området med en ortohedron med de givne dimensioner er givet ved følgende forhold:

A = 2⋅ (a⋅b + b⋅c + c⋅a) = 2⋅ (4 m⋅2 m + 2 m⋅6 m + 6 m⋅4 m)

Det vil sige:

A = 2⋅ (8 m ² + 12 m ² + 24 m ²) = 2⋅ (44 m ²) = 88 m ²

Det forrige resultat er området med den lukkede ortohedron med de givne dimensioner, men da det er en tank, der er helt afdækket i sin øverste del, for at opnå overfladen af ​​tankens indvendige vægge, skal området med det manglende låg trækkes fra, hvilket er:

c⋅a = 6 m ⋅ 4 m = 24 m ².

Endelig vil den indvendige overflade af tanken være: S = 88 m ² - 24 m ² = 64 m ².

Løsning b

Tankens indre volumen er angivet ved volumenet af en orthohedron med tankens indvendige dimensioner:

V = a⋅b⋅c = 4 m ⋅ 2 m ⋅ 6 m = 48 m ³.

Opløsning c

Den indvendige diagonal af en oktaeder med dimensionerne i det indre af tanken har en længde D givet af:

√ (a ² + b ² + c ²) = √ ((4 m) ² + (2 m) ² + (6 m) ²)

Udførelse af de angivne operationer, vi har:

D = √ (16 m ² + 4 m ² + 36 m ²) = √ (56 m ²) = 2√ (14) m = 7,48 m.

Opløsning d

For at beregne tankens kapacitet i liter er det nødvendigt at vide, at mængden af ​​et kubikcimeter er lig med en liters kapacitet. Det var tidligere beregnet i volumen i kubikmeter, men det skal omdannes til kubiske decimeter og derefter til liter:

V = 48 m ³ = 48 (10 dm) ³ = 4.800 dm ³ = 4.800 L

- Øvelse 2

Et glasakvarium har en kubisk form med en side 25 cm. Bestemm området i m ², volumen i liter og længden af ​​en indvendig diagonal i cm.

Figur 4. Kubikformet glasakvarium.

Løsning

Området beregnes ved hjælp af den samme orthohedronformel, men under hensyntagen til at alle dimensioner er identiske:

A = 2⋅ (3 a⋅a) = 6⋅ en ² = 6⋅ (25 cm) ² = 1,250 cm ²

Volumenet af terningen er angivet af:

V = a ³ = (25 cm) ³ = 15,625 cm ³ = 15,625 (0,1 dm) ³ = 15,625 dm ³ = 15,625 L.

Den indvendige diagonals længde D er:

D = √ (3a ²) = 25√ (3) cm = 43,30 cm.

Referencer

1. Arias J. GeoGebra: Prisma. Gendannes fra: youtube.com.
2. Calculation.cc. Øvelser og løste problemer i områder og volumener. Gendannes fra: calculo.cc.
3. Salvador R. Pyramid + orthohedron med GEOGEBRA (IHM). Gendannes fra: youtube.com
4. Weisstein, Eric. "Orthohedron". MathWorld. Wolfram Research.
5. Wikipedia. Orthohedron Gendannet fra: es.wikipedia.com