CENTRAL SYMMETRI: EGENSKABER, EKSEMPLER OG ØVELSER - MATEMATIK - 2025

To punkter A og A 'har central symmetri med hensyn til et punkt O, når segmentet AA' passerer gennem det, og det er også midtpunktet for AA '. Punkt O kaldes symmetriens centrum.

Den centrale symmetriske af en trekant ABC i forhold til et punkt O er en anden trekant A'B'C ', der har følgende egenskaber:

-Homologiske segmenter har samme længde

-De tilsvarende vinkler har samme mål.

Figur 1. Trekant ABC og dets symmetriske A'B'C. Kilde: F. Zapata.

Figur 1 viser en trekant ABC (rød) og dens centrale symmetri A'B'C '(grøn) med hensyn til symmetriens centrum O.

I denne samme figur ville en opmærksom observatør indse, at det samme resultat opnås ved at anvende en rotation af den originale trekant, så længe den er 180 ° og er centreret ved O.

Derfor svarer en central symmetri til en 180º drejning i forhold til symmetriens centrum.

Egenskaber ved central symmetri

En central symmetri har følgende egenskaber:

-Symmetriens centrum er midtpunktet i det segment, der forbinder et punkt med dets symmetri.

-Et symmetrisk punkt på et andet, der er placeret i symmetriens centrum, falder sammen med centrum af symmetri.

-Den trekants centrale symmetriske er en kongruent trekant (lige) som originalen.

-Billedet ved centrale symmetri af en cirkel er en anden cirkel med samme radius.

-En omkreds har central symmetri i forhold til sit eget centrum.

Figur 2. Design med central symmetri. Kilde: Pixabay.

-Ellipsen har central symmetri med hensyn til dets centrum.

-Et segment har central symmetri med hensyn til dets midtpunkt.

-Den ligesidede trekant har ikke central symmetri i forhold til dens centrum, fordi dens symmetri, selv om den er kongruent med den første, giver en roteret ligesidet trekant.

-Kvadraterne har central symmetri med hensyn til deres centrum.

-En femkant mangler central symmetri i forhold til dets centrum.

-Regulære polygoner har central symmetri, når de har et jævnt antal sider.

eksempler

Symmetri-kriterier har mange anvendelser inden for videnskab og teknik. Central symmetri er til stede i naturen, for eksempel iskrystaller og spindelvev har denne form for symmetri.

Desuden løses mange problemer let, når de drager fordel af eksistensen af ​​central symmetri og andre former for symmetri. Derfor er det praktisk at hurtigt identificere, hvornår det opstår.

Figur 3. Iskrystaller har central symmetri. Kilde: Pixabay.

Eksempel 1

Givet et punkt P af koordinater (a, b), skal vi finde koordinaterne for dets symmetriske P 'med hensyn til koordinaternes oprindelse O (0, 0).

Den første ting er at konstruere punktet P ', for hvilket der tegnes en linje, der passerer gennem oprindelsen O og gennem punktet P. Ligningen for denne linje er y = (b / a) x.

Lad os nu kalde (a ', b') koordinaterne for det symmetriske punkt P '. Punkt P 'skal ligge på den linje, der passerer gennem O, og derfor er det sandt: b' = (b / a) a '. Desuden skal afstanden OP være lig med OP ', som i analytisk form er skrevet sådan:

√ (a ² + b ²) = √ (a ' ² + b' ²)

Følgende er at erstatte b '= i det forrige udtryk og firkante begge sider af ligheden for at fjerne kvadratroten: (a ² + b ²) =

Ved at udtrække fælles faktor og forenkle får vi, at a ' ² = a ². Denne ligning har to reelle løsninger: a '= + a eller a' = -a.

For at få b 'bruger vi igen b' = (b / a) a '. Hvis den positive løsning af en 'er substitueret, ankommer vi til det b' = b. Og når den negative opløsning er substitueret, så er b '= -b.

Den positive løsning giver for P 'det samme punkt P, så det kasseres. Den negative løsning giver bestemt koordinaterne for det symmetriske punkt:

P ': (-a, -b)

Eksempel 2

Det kræves at vise, at et segment AB og dets centrale symmetriske A'B har samme længde.

Startende med koordinaterne for punkt A, som er (Axe, Ay) og koordinaterne for punkt B: (Bx, By), er længden af ​​segment AB givet af:

d (AB) = √ ((Bx - Ax) ² + (Af - Ay) ²)

Analogt vil det symmetriske segment A'B have længden angivet af:

d (A'B ') = √ ((Bx' - Ax ') ² + (Af' - Ay ') ²)

Koordinaterne for det symmetriske punkt A 'er Ax' = -Ax og Ay '= -Ay. Tilsvarende er Bs 'Bx' = -Bx og By '= -By. Hvis disse koordinater er substitueret i ligningen for afstanden d (A'B '), har vi:

d (A'B ') = √ ((-Bx + Ax) ² + (-By + Ay) ²) hvilket er ækvivalent med:

√ ((Bx - Ax) ² + (By - Ay) ²) = d (AB)

Således vises, at begge segmenter har samme længde.

Løst øvelser

- Øvelse 1

Vis analytisk, at den centrale symmetriske O for en cirkel med radius R og centrum O er den samme originale cirkel.

Løsning

Ligningen af ​​en cirkel med radius R og centrum O (0,0) er:

x ² + y ² = R ² (ligning af omkredsen C)

Hvis der ved hvert punkt P i koordinaternes (periferi y) x (y) dets symmetriske P 'af koordinater (x', y ') findes, er ligningen for den symmetriske omkreds:

x ' ² + y' ² = R ² (Ligning af den symmetriske cirkel C ')

Vi henviser nu til resultatet fra eksempel 1, hvor det konkluderes, at koordinaterne for et punkt P ', symmetrisk til P og med koordinater (a, b), er (-a, -b).

Men i denne øvelse har punkt P koordinater (x, y), så dets symmetriske P 'vil have koordinater x' = -xe y '= -y. Ved at erstatte dette i ligningen af ​​den symmetriske cirkel, har vi:

(-x) ² + (-y) ² = R ²

Hvilket svarer til: x ² + y ² = R ², der konkluderer, at den centrale symmetriske af en cirkel i forhold til dens centrum er selve cirklen.

- Øvelse 2

Vis i geometrisk form, at den centrale symmetri bevarer vinklerne.

Løsning

Figur 4. Konstruktion af de symmetriske punkter til øvelse 2. Kilde: F. Zapata.

Der er tre punkter A, B og C på flyet. Dets symmetri A ', B' og C 'er konstrueret i forhold til centrum af symmetri O, som vist i figur 4.

Nu skal vi vise, at vinklen ∡ABC = β har det samme mål som vinklen ∡A'B'C '= β'.

Da C og C 'er symmetriske, er OC = OC'. Tilsvarende OB = OB 'og OA = OA'. På den anden side er vinklen ∡BOC = ∡B'OC, fordi de modsættes af toppunktet.

Derfor er trekanterne BOC og B'OC kongruente, fordi de har en lige vinkel mellem to lige sider.

Da BOC er kongruent med B'OC ', er vinklerne γ og γ' lige. Men disse vinkler er, udover at opfylde γ = γ ', interne veksler mellem linier BC og B'C', hvilket indebærer, at linje BC er parallel med B'C '.

Tilsvarende er BOA kongruent med B'OA ', hvorfra det følger, at α = α'. Men α og α 'er vekslende indre vinkler mellem linjerne BA og B'A', hvorfra det konkluderes, at linje BA er parallel med B'A '.

Da vinklen ∡ABC = β har sine sider parallelt med vinklen ∡A'B'C '= β', og også begge er akutte, konkluderes det, at:

∡ABC = ∡A'B'C '= β = β'

Bevisende på denne måde, at den centrale symmetri bevarer måling af vinklerne.

Referencer

1. Baldor, JA 1973. Plane and Space Geometry. Mellemamerikansk kultur.
2. Matematiske love og formler. Vinkelmålingssystemer. Gendannes fra: ingemecanica.com.
3. Wentworth, G. Plane Geometry. Gendannet fra: gutenberg.org.
4. Wikipedia. Central symmetri. Gendannet fra: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Conveyor. Gendannet fra: es.wikipedia.com
6. Zapata F. Konjugere interne og eksterne vinkler. Gendannes fra: lifeder.com