The Green 's teorem er en beregningsmetode, der bruges til at forbinde linieintegraler dobbeltintegraler eller overfladeareal. De involverede funktioner skal betegnes som vektorfelter og defineres inden for stien C.
For eksempel kan en integreret linjeudtryk være meget vanskelig at løse; men ved at implementere Green's teorem bliver dobbeltintegraler ganske basale. Det er altid vigtigt at respektere banens positive retning, dette henviser til retningen mod uret.
Green's sætning er et specielt tilfælde af Stokes teorem, hvor projiceringen af vektorfunktionen udføres i xy-planet.
Definition
Udtrykket af Green's Theorem er som følger:
Det første udtryk viser linieintegralet defineret af stien “C” for det skalære produkt mellem vektorfunktionen “F” og det for vektoren “r”.
C: Det er den definerede sti, som vektorfunktionen projiceres på, så længe den er defineret for det plan.
F: Vektorfunktion, hvor hver af dens komponenter defineres af en funktion som sådan (f, g).
r: Det er en vektortangens til regionen R, som integralen er defineret over. I dette tilfælde arbejder vi med en forskel på denne vektor.
I den anden periode ser vi Green's teorem udviklet, hvor dobbeltintegralet defineret i området R for forskellen mellem de partielle derivater af g og f observeres med hensyn til henholdsvis x og y. Ved en arealforskel, der ikke er andet end produktet af begge to-dimensionelle differentier (dx.dy).
Denne sætning er perfekt anvendelig til rum- og overfladegrupper.
Demonstration
For at bevise Green's sætning på en enkel måde vil denne opgave blive opdelt i 2 dele. Først og fremmest antager vi, at vektorfunktionen F kun har en definition i versoren i. Mens funktionen "g" svarende til versoren j vil være lig med nul.
Forfatter
F = f (x, y) i + g (x, y) j = f (x, y) i + 0
r = x i + y j
dr = dx i + dy j
Først udvikler vi linjen integreret over sti C, for hvilken stien er blevet opdelt i 2 sektioner, der går først fra a til b og derefter fra b til a.
Definitionen af den grundlæggende teorem for beregning anvendes til en bestemt integral.
Udtrykket omarrangeres til et enkelt integral, det negative gøres til en fælles faktor, og rækkefølgen af faktorer er vendt.
Når man observerer dette udtryk i detaljer, bliver det tydeligt, at når vi anvender de primitive funktionskriterier, er vi i nærværelse af integralen af det udtryk, der er afledt af f med hensyn til y. Evalueret i parametre
Nu er det nok at antage, at vektorfunktionen F kun er defineret for g (x, y) j. Når man arbejder på en måde, der ligner den foregående sag, opnås følgende:
For at afslutte tages og sammenføjes de 2 korrekturer i det tilfælde, hvor vektorfunktionen tager værdier for begge versioner. På denne måde vises det, hvordan linieintegralet, efter at det er defineret og betragtes som en endimensionel bane, kan udvikles fuldt ud til planet og rummet.
F = f (x, y) i + g (x, y) j
På denne måde bevises Green's sætning.
Applikationer
Anvendelserne af Green's teorem er bredt inden for grene af fysik og matematik. Disse udvides til enhver applikation eller anvendelse, der kan gives til linjeintegration.
Det mekaniske arbejde, der udføres af en kraft F gennem en sti C, kan udvikles af en linieintegral, der udtrykkes som et dobbeltintegral af et område ved Green's teorem.
Træghedsmomenter fra mange organer, der udsættes for eksterne kræfter på forskellige anvendelsespunkter, reagerer også på linjeintegraler, der kan udvikles med Green's teorem.
Dette har flere funktionaliteter i resistensundersøgelserne af materialer, der er under brug. Hvor eksterne værdier kan kvantificeres og tages i betragtning inden udviklingen af forskellige elementer.
Generelt letter Green's sætning forståelsen og definitionen af de områder, hvor vektorfunktioner er defineret i forhold til et område langs en sti.
Historie
Det blev offentliggjort i 1828 i værket Matematisk analyse til teorierne om elektricitet og magnetisme, skrevet af den britiske matematiker George Green. I det undersøges ganske afgørende sektioner i anvendelsen af beregning i fysik, såsom begrebet potentielle funktioner, Grønns funktioner og anvendelserne af hans selvtitulerede teorem.
George Green formaliserede sin studentkarriere i en alder af 40 og var indtil nu en fuldstændig selvlært matematiker. Efter at have studeret ved University of Cambridge fortsatte han sin forskning og bidrog med akustik, optik og hydrodynamik, der stadig er gyldige i dag.
Forhold til andre sætninger
Green's sætning er et specielt tilfælde, og det stammer fra 2 andre meget vigtige sætninger inden for beregningsområdet. Dette er Kelvin-Stokes teorem og divergens eller Gauss Ostrogradski teorem.
Fra en af de to sætninger kan man ankomme Green's sætning. Visse definitioner og forslag er nødvendige for at udvikle sådanne bevis.
Øvelser
- Den følgende øvelse viser, hvordan man transformerer en linieintegral til en dobbelt integral med hensyn til et område R.
Det originale udtryk er følgende:
Fra hvor de tilsvarende funktioner af og g tages
f (x, y) = x 3 g (x, y) = yx
df / dy = 0 dg / dx = y
Der er ingen enkelt måde at definere grænserne for integration ved anvendelse af Green's sætning. Men der er måder, hvor integralerne, efter at de er defineret, kan være enklere. Så optimeringen af integrationsgrænserne fortjener opmærksomhed.
Hvor når vi løser de integraler, vi får:
Denne værdi svarer i kubiske enheder til området under vektorfunktionen og over det trekantede område defineret af C.
I tilfælde af linieintegralet uden at udføre Green's metode, ville det have været nødvendigt at parametrere funktionerne i hvert afsnit af regionen. Det vil sige udføre 3 parametriserede integraler til opløsningen. Dette er tilstrækkeligt bevis på effektiviteten, som Robert Green bragte med sit sætning til beregningen.
Referencer
- Introduktion til kontinuummekanik. W Michael Lai, David H. Rubin, Erhard Krempl, David Rubin Butterworth-Heinemann, 23. jul. 2009
- Multivariat beregning. James Stewart. Cengage Learning, 22. marts 2011
- En uformel historie om Green's sætning og tilknyttede ideer. James Joseph Cross. Institut for Matematik, University of Melbourne, 1975
- Varmeledning ved hjælp af grønne funktioner. Kevin D. Cole, James V. Beck, A. Haji-Sheikh, Bahman Litkouhi. Taylor & Francis, 16. jul 2010
- Anvendelse af Green's sætning til ekstremisering af lineære integraler. Forsvars Teknisk Informationscenter, 1961