- Hvordan finder man området med en femkant?
- Område med en almindelig femkant
- Område med en uregelmæssig femkant
- Gaussisk determinant
- Referencer
Det område i en femkant beregnes ved anvendelse af en fremgangsmåde kendt som triangulering, som kan anvendes på enhver polygon. Denne metode består i at opdele femkantet i flere trekanter.
Herefter beregnes arealet af hver trekant, og til sidst tilføjes alle fundne områder. Resultatet bliver området med femkant.
Pentagon kunne også opdeles i andre geometriske former, såsom en trapezoid og en trekant, såsom figuren til højre.
Problemet er, at længden af den større base og højden af trapezoidet ikke er let at beregne. Højden på den røde trekant skal også beregnes.
Hvordan finder man området med en femkant?
Den generelle metode til beregning af en femkantes areal er triangulering, men metoden kan være ligetil eller lidt længere afhængigt af om femkantens regelmæssige eller ikke.
Område med en almindelig femkant
Før man beregner området, er det nødvendigt at vide, hvad apoten er.
Afstanden fra en almindelig femkant (almindelig polygon) er den mindste afstand fra midten af femkant (polygon) til midtpunktet på den ene side af femkant (polygon).
Med andre ord, apotemet er længden af linjesegmentet, der går fra midten af femkantens midtpunkt på den ene side.
Lad os overveje en regelmæssig femkant så dens længde er "L". For at beregne apotemet, skal du først dele den centrale vinkel α med antallet af sider, det vil sige α = 360º / 5 = 72º.
Ved hjælp af de trigonometriske forhold beregnes nu længden af apoten som vist i det følgende billede.
Derfor har apotemet en længde på L / 2tan (36º) = L / 1,45.
Ved triangulering af femkantet opnås en figur som nedenunder.
Alle 5 trekanter har det samme område (til at være en almindelig femkant). Derfor er femkantens område 5 gange arealet af en trekant. Det vil sige: område af en femkant = 5 * (L * ap / 2).
Ved at erstatte apotemets værdi opnår vi, at området er A = 1,72 * L².
Derfor, for at beregne arealet af en almindelig femkant, behøver du kun at kende længden på den ene side.
Område med en uregelmæssig femkant
Vi starter fra en uregelmæssig femkant, så dens længder er L1, L2, L3, L4 og L5. I dette tilfælde kan apoten ikke bruges som brugt før.
Efter at have udført trianguleringen opnås en figur som følgende:
Nu fortsætter vi med at tegne og beregne højderne på disse 5 indvendige trekanter.
Så områdene i de indvendige trekanter er T1 = L1 * h1 / 2, T2 = L2 * h2 / 2, T3 = L3 * h3 / 2, T4 = L4 * h4 / 2 og T5 = L5 * h5 / 2.
Værdierne for h1, h2, h3, h4 og h5 er højderne på hver trekant.
Endelig er femkantens område summen af disse 5 områder. Det vil sige A = T1 + T2 + T3 + T4 + T5.
Som du kan se, er beregningen af området for en uregelmæssig femkant mere kompliceret end at beregne arealet af en almindelig femkant.
Gaussisk determinant
Der er også en anden metode, til hvilken arealet af en hvilken som helst uregelmæssig polygon kan beregnes, kendt som den Gaussiske determinant.
Denne metode består af at tegne polygonen på det kartesiske plan, derefter beregnes koordinaterne for hvert toppunkt.
Højdepunkterne tælles op mod uret, og til sidst beregnes bestemte determinanter for endelig at opnå det aktuelle polygons område.
Referencer
- Alexander, DC, & Koeberlein, GM (2014). Elementærgeometri for studerende. Cengage Learning.
- Arthur Goodman, LH (1996). Algebra og trigonometri med analytisk geometri. Pearson Uddannelse.
- Lofret, EH (2002). Bogen med tabeller og formler / Bog med multiplikationstabeller og formler. Fantasifulde.
- Palmer, CI, & Bibb, SF (1979). Praktisk matematik: aritmetik, algebra, geometri, trigonometri og diasregel (genoptryk red.). Reverte.
- Posamentier, AS, & Bannister, RL (2014). Geometri, dens elementer og struktur: Anden udgave. Courier Corporation.
- Quintero, AH, & Costas, N. (1994). Geometri. Lederen, UPR.
- Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). Geometrier. Redaktionel Tecnologica de CR.
- Torah, FB (2013). Matematik. 1. didaktisk enhed 1. ESO, bind 1. Redaktionel klub Universitario.
- Víquez, M., Arias, R., & Araya, J. (sf). Matematik (sjette år). EUNED.