Et begrænset sæt forstås som ethvert sæt med et begrænset eller tællbart antal elementer. Eksempler på begrænsede sæt er klinkekuglerne, der er indeholdt i en pose, sæt huse i et kvarter eller sæt P dannet af de første 20 (20) naturlige tal:
P = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}
Sætet med stjerner i universet er helt sikkert enormt, men om det er endeligt eller uendeligt vides ikke med sikkerhed. Planetsættet i solsystemet er imidlertid endeligt.
Figur 1. Polygonsættet er endeligt og delmængden af de regelmæssige også. (Wikimedia Commons)
Antallet af elementer i et endeligt sæt kaldes dets kardinalitet, og for sættet P betegnes det som følger: Kort (P) eller # P. Det tomme sæt har nul kardinalitet og betragtes som et endeligt sæt.
Ejendomme
Blandt egenskaberne ved begrænsede sæt er følgende:
1- Sammenslutningen af endelige sæt giver anledning til et nyt begrænset sæt.
2- Hvis to endelige sæt skærer hinanden, resulterer et nyt begrænset sæt.
3 - En delmængde af et endeligt sæt er endeligt, og dets kardinalitet er mindre end eller lig med det originale sæt.
4- Det tomme sæt er et endeligt sæt.
eksempler
Der er mange eksempler på endelige sæt. Nogle eksempler inkluderer følgende:
Sættet M for årets måneder, som i udvidet form kan skrives sådan:
M = {januar, februar, marts, april, maj, juni, juli, august, september, oktober, november, december}, M's kardinalitet er 12.
Sættet S for ugens dage: S = {Mandag, tirsdag, onsdag, torsdag, fredag, lørdag, søndag}. Kardinaliteten af S er 7.
Sættet Ñ for bogstaverne i det spanske alfabet er et endeligt sæt, dette sæt med udvidelse er skrevet sådan:
Ñ = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z}, og dens kardinalitet er 27.
Sættet V for vokalerne på spansk er en undergruppe af sættet Ñ:
V ⊂ Ñ er derfor et begrænset sæt.
Det endelige sæt V i omfattende form er skrevet på denne måde: V = {a, e, i, o, u}, og dets kardinalitet er 5.
Sæt kan udtrykkes ved forståelse. Sættet F, der består af bogstaverne i ordet "endelig", er et eksempel:
F = {x / x er et bogstav på ordet "endelig"}
Nævnte sæt udtrykt i omfattende form vil være:
F = {f, i, n, t, o} hvis kardinalitet er 5 og derfor er et endeligt sæt.
Flere eksempler
Regnbuens farver er et andet eksempel på et begrænset sæt, sæt C for disse farver er:
C = {rød, orange, gul, grøn, cyan, blå, violet} og dens kardinalitet er 7.
Sættet med faserne F of the Moon er et andet eksempel på et begrænset sæt:
F = {Ny måne, første kvartal, fuldmåne, sidste kvartal} dette sæt har kardinalitet 4.
Figur 2. Planeterne i solsystemet danner et endeligt sæt. (Pixabay)
Et andet endeligt sæt er det, der er dannet af planeterne i solsystemet:
P = {Kviksølv, Venus, Jorden, Mars, Jupiter, Saturn, Uranus, Neptun, Pluto} af kardinalitet 9.
Løst øvelser
Øvelse 1
Følgende sæt A = {x∊ R / x ^ 3 = 27} er givet. Udtryk det med ord, og skriv det i forlængelse, angiv dets kardinalitet og siger, om det er endeligt eller ej.
Løsning: Sættet A er sættet med reelle tal x sådan, at x kubet af som et resultat 27.
Ligningen x ^ 3 = 27 har tre løsninger: de er x1 = 3, x2 = (-3/2 + 3√3 / 2 i) og x3 = (-3/2 - 3√3 / 2 i). Af de tre løsninger er kun x1 reel, mens de to andre er komplekse tal.
Da definitionen af sæt A siger, at x hører til de reelle tal, er løsningen på det komplekse tal ikke en del af sæt A.
Sættet A, der udtrykkeligt udtrykkes, er:
A = {3}, som er et endeligt sæt kardinalitet 1.
Øvelse 2
Skriv i symbolsk form (ved forståelse) og i udstrakt form sæt B af reelle tal, der er større end 0 (nul) og mindre end eller lig med 0 (nul). Angiv dens kardinalitet, og om den er endelig.
Løsning: B = {x∊ R / 0 <x <= 0}
Sættet B er tomt, fordi et reelt tal x ikke kan være samtidig større og mindre end nul, ligesom det ikke kan være 0 og også mindre end 0.
B = {} og dets kardinalitet er 0. Det tomme sæt er et begrænset sæt.
Øvelse 3
Sættet S for løsningen af en bestemt ligning er angivet. Sættet S ved forståelse er skrevet sådan:
S = {x∊ R / (x-3) (x ^ 2 - 9 x + 20) = 0}
Skriv nævnte sæt i udstrakt form, angiv dets kardinalitet og angiv, om det er et endeligt sæt.
Løsning: Først når man analyserer udtrykket, der beskriver sæt S, opnås det, at det er et sæt reelle x-værdier, der er løsninger i ligningen:
(x-3) (x ^ 2 - 9 x + 20) = 0 (*)
En løsning af denne ligning er x = 3, som er et reelt tal og derfor hører til S. Men der er flere løsninger, der kan opnås ved at lede efter løsningen i den kvadratiske ligning:
(x ^ 2 - 9 x + 20) = 0
Ovenstående udtryk kan tages i betragtning som følger:
(x - 4) (x - 5) = 0
Hvilket fører os til yderligere to løsninger af den originale ligning (*), som er x = 4 og x = 5. Kort sagt har ligning (*) som løsninger 3, 4 og 5.
Sættet udtrykt i omfattende form ser sådan ud:
S = {3, 4, 5}, som har kardinalitet 3 og derfor er et begrænset sæt.
Øvelse 4
Der er to sæt A = {1, 5, 7, 9, 11} og B = {x ∊ N / x er jævn ^ x <10}.
Skriv sæt B eksplicit og find foreningen med sæt A. Find også afskærmningen af disse to sæt og afslutt.
Løsning: sæt B består af naturlige tal, så de er jævne og også er mindre end værdien 10, derfor i omfattende sæt B skrives det som følger:
B = {2, 4, 6, 8}
Sammensætningen af sæt A med sæt B er:
AUB = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11}
og afskærmningen af sæt A med sæt B skrives sådan:
A ⋂ B = {} = Ø er det tomme sæt.
Det skal bemærkes, at foreningen og aflytningen af disse to endelige sæt fører til nye sæt, som igen også er begrænsede.
Referencer
- Fuentes, A. (2016). BASIC MATH. En introduktion til calculus. Lulu.com.
- Garo, M. (2014). Matematik: kvadratiske ligninger: Hvordan man løser en kvadratisk ligning Marilù Garo.
- Haeussler, EF, & Paul, RS (2003). Matematik til ledelse og økonomi. Pearson Uddannelse.
- Jiménez, J., Rodríguez, M., Estrada, R. (2005). Matematik 1 SEP. Grænseværdi.
- Preciado, CT (2005). Matematik Kursus 3. Redaktionel Progreso.
- Matematik 10 (2018). "Eksempler på endelige sæt". Gendannet fra: matematicas10.net
- Rock, NM (2006). Algebra I Is Easy! Så let. Team Rock Press.
- Sullivan, J. (2006). Algebra og trigonometri. Pearson Uddannelse.
- Wikipedia. Finit sæt. Gendannet fra: es.wikipedia.com