SFÆRISKE KOORDINATER: EKSEMPLER OG LØSTE ØVELSER - MATEMATIK - 2024

De sfæriske koordinater er et sæt placeringspunkter i tredimensionelt rum, der består af en radial koordinat og to vinkelkoordinater kaldet polær koordinat og azimutalkoordinat.

Figur 1, som vi ser nedenfor, viser de sfæriske koordinater (r, θ, φ) af et punkt M. Disse koordinater henvises til et ortogonalt system af kartesiske akser X, Y, Z med oprindelse O.

Figur 1. Sfæriske koordinater (r, θ, φ) af et punkt M. (wikimedia commons)

I dette tilfælde er koordinaten r for punkt M afstanden fra dette punkt til oprindelsen O. Den polære koordinat θ repræsenterer vinklen mellem den positive halvakse Z og radiusvektoren OM. Mens azimutalkoordinaten φ er vinklen mellem den positive halvakse X og radiusvektoren OM ', hvor M' er den ortogonale projektion af M på XY-planet.

Den radiale koordinat r tager kun positive værdier, men hvis et punkt er placeret ved oprindelsen, er r = 0. Den polære koordinat θ tager som minimumværdi 0º for punkter placeret på den positive halvakse Z, og en maksimal værdi 180º for punkterne er placeret på den negative halvakse Z. Endelig tager den azimutale koordinat as som en minimumsværdi 0º og en maksimal højde på 360º.

0 ≤ r <∞

0 ≤ θ ≤ 180º

0 ≤ φ <360º

Ændring af koordinater

Formlerne, der tillader opnåelse af de kartesiske koordinater (x, y, z) for et punkt M, vil blive givet nedenfor, under forudsætning af at de sfæriske koordinater for det samme (r, θ, φ) punkt er kendte:

x = r Sen (θ) Cos (φ)

y = r Sen (θ) Sen (φ)

z = r Cos (θ)

På samme måde er det nyttigt at finde forbindelserne til at gå fra de kartesiske koordinater (x, y, z) for et givet punkt til de sfæriske koordinater for nævnte punkt:

r = √ (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)

θ = Arctan (√ (x ^ 2 + y ^ 2) / z)

φ = Arctan (y / x)

Vektorbase i sfæriske koordinater

Fra de sfæriske koordinater defineres et ortonormalt grundlag af basisvektorer, der er betegnet med Ur, Uφ, Uφ. I figur 1 er disse tre enhedsvektorer vist, som har følgende egenskaber:

- Ur er enhedsvektoren tangens til den radiale linje θ = ctte og φ = ctte;

- Uθ er enhedsvektoren tangens til buen φ = ctte og r = ctte;

- Uφ er enhedsvektoren tangens til buen r = ctte og θ = ctte.

Linie- og volumenelementer i sfæriske koordinater

Positionsvektoren for et punkt i rummet i sfæriske koordinater er skrevet sådan:

r = r Ur

Men en uendelig variation eller forskydning af et punkt i tredimensionelt rum i disse koordinater udtrykkes ved følgende vektorforhold:

d r = dr Ur + r dθ Uθ + r Sen (θ) d φ Uφ

Endelig skrives et uendeligt volumen dV i sfæriske koordinater sådan:

dV = r ^ 2 Sen (θ) dr dθ dφ

Disse forhold er meget nyttige til beregning af linje- og volumenintegraler i fysiske situationer, der har sfærisk symmetri.

Forhold til geografiske koordinater

Geografiske koordinater forstås som dem, der tjener til at lokalisere steder på jordoverfladen. Dette system bruger koordinaterne for breddegrad og længdegrad til at lokalisere positionen på jordoverfladen.

I det geografiske koordinatsystem antages jordoverfladen at være sfærisk med radius Rt, selvom det vides at være fladet ved polerne, og et sæt imaginære linjer kaldet paralleller og meridianer overvejes.

Figur 2. En observatørs længdegrad α og breddegrad β på jordoverfladen.

Breddegrad β er en vinkel dannet af en radius, der starter fra Jordens centrum til det punkt, du vil placere. Det måles fra ækvatorplanet, som vist i figur 2. På den anden side er længdegraden α den vinkel, som meridianen på det punkt, der befinder sig, dannes i forhold til nulmeridianen (kendt som Greenwich-meridianen).

Breddegrad kan være nord- eller sydlig bredde, afhængigt af om det sted, du lokaliserer, er på den nordlige halvkugle eller på den sydlige halvkugle. På samme måde kan længdegraden være vest eller øst afhængigt af, om placeringen er vest eller øst for nulmeridianen.

Formler, der skal ændres fra geografisk til sfærisk

For at få disse formler er den første ting at etablere et koordinatsystem. XY-planet vælges til at falde sammen med ækvatorplanet, idet den positive X-halvakse er den, der går fra centrum af Jorden og passerer gennem nulmeridianen. Til gengæld passerer Y-aksen gennem meridianen 90 ° E. Jordoverfladen har en radius Rt.

Med dette koordinatsystem ser transformationerne fra geografisk til sfærisk sådan ud:

αEβN → (Rt, θ = 90º-β, φ = α)

αOβN → (Rt, θ = 90º-ß, φ = 360º-α)

αEβS → (Rt, θ = 90º + β, φ = α)

αOßS → (Rt, θ = 90º + β, φ = 360º-α)

eksempler

Eksempel 1

De geografiske koordinater for Palma de Mallorca (Spanien) er:

Østlig breddegrad 38.847º og Nordbreddegrad 39.570º. For at bestemme de sfæriske koordinater, der svarer til Palma de Mallorca, anvendes den første af formlerne med formlerne i det foregående afsnit:

38.847ºE39.570ºN → (r = 6371 km, θ = 90º-39.570º, φ = 38.847º)

Så de sfæriske koordinater er:

Palma de Mallorca: (r = 6371 km, θ = 50,43 º, φ = 38,85º)

I det forrige svar er r taget lig med jordens gennemsnitlige radius.

Eksempel 2

Når man kender til, at øerne Malvinas (Falkland) har geografiske koordinater på 59ºO 51,75ºS, bestemmes de tilsvarende polære koordinater. Husk, at X-aksen går fra Jordens centrum til 0º meridianen og på ækvatorplanet; Y-aksen også i ækvatorplanet og passerer gennem 90 ° vest-meridianen; endelig Z-aksen på jordens rotationsakse i syd-nord-retning.

For derefter at finde de tilsvarende sfæriske koordinater bruger vi formlerne præsenteret i det foregående afsnit:

59ºO 51,75ºS → (r = 6371 km, θ = 90º + 51,75º, φ = 360º-59º) som er

Malvinas: (r = 6371 km, θ = 141,75º, φ = 301º)

Øvelser

Øvelse 1

Find de kartesiske koordinater for Palma de Mallorca i XYZ Cartesian referencesystem vist i figur 2.

Løsning: Tidligere, i eksempel 1, blev de sfæriske koordinater opnået med udgangspunkt i de geografiske koordinater af Palma de Mallorca. Så formlerne præsenteret ovenfor kan bruges til at gå fra sfærisk til kartesisk:

x = 6371 km Sen (50,43 º) Cos (38,85 º)

y = 6371 km Sen (50,43 º) Sen (38,85 º)

z = 6371 km Cos (50,43 º)

Udførelse af de tilsvarende beregninger, vi har:

Palma de Mallorca: (x = 3825 km, y = 3081 km, z = 4059)

Øvelse 2

Find de kartesiske koordinater for Falklandsøerne i XYZ kartesiske referencesystem vist i figur 2.

Løsning: Tidligere i eksempel 2 blev de sfæriske koordinater opnået ud fra de geografiske koordinater på Malvinas-øerne. Så formlerne præsenteret ovenfor kan bruges til at gå fra sfærisk til kartesisk:

x = 6371 km Sen (141,75º) Cos (301º)

y = 6371 km Sen (141,75º) Sen (301º)

z = 6371 km Cos (141,75º)

Udførelse af de tilsvarende beregninger opnår vi:

Falklandsøerne: (x = 2031 km, y = -3381 km, z = -5003)

Referencer

1. Arfken G og Weber H. (2012). Matematiske metoder til fysikere. En omfattende guide. 7. udgave. Academic Press. ISBN 978-0-12-384654-9
2. Beregning cc. Løste problemer med cylindriske og sfæriske koordinater. Gendannes fra: calculo.cc
3. Astronomi workshop. Breddegrad og længdegrad. Gendannes fra: tarifamates.blogspot.com/
4. Weisstein, Eric W. "Sfæriske koordinater." Fra MathWorld-A Wolfram Web. Gendannes fra: mathworld.wolfram.com
5. wikipedia. Sfærisk koordinatsystem. Gendannet fra: en.wikipedia.com
6. wikipedia. Vector felter i cylindriske og sfæriske koordinater. Gendannet fra: en.wikipedia.com