KONJUGERE INTERNE OG EKSTERNE VINKLER: EKSEMPLER, ØVELSER - MATEMATIK - 2024

De vinkler konjugater er de, tillægges resultatet at være 360, uanset af nævnte vinkler er tilgrænsende eller ej. To konjugerede vinkler er vist i figur 1, betegnet a og β.

I dette tilfælde har vinklerne a og β i figuren et fælles toppunkt, og deres sider er fælles, derfor er de tilstødende. Forholdet mellem dem udtrykkes som følger:

α + β = 360º

Figur 1. To konjugerede centrale vinkler, sum. Kilde: Wikimedia Commons. Ingen maskine-læselig forfatter leveret. Thiago R Ramos antog (baseret på ophavsretskrav). Det er en klassificering af vinklerne efter deres sum. Andre vigtige definitioner inkluderer komplementære vinkler, hvis sum er 90º, og supplerende vinkler, som i alt er 180º.

Lad os på den anden side overveje to parallelle linjer, der er skåret af en sekant, hvis arrangement er vist nedenfor:

Figur 2. Parallelle linier, der er skåret af en afskærmning. Kilde: F. Zapata.

Linjerne MN og PQ er parallelle, mens linjen RS er fast, og skærer parallellerne på to punkter. Som det kan ses, bestemmer denne konfiguration dannelsen af ​​8 vinkler, der er betegnet med små bogstaver.

I henhold til definitionen givet i begyndelsen er vinklerne a, b, c og d konjugerede. Og på samme måde er e, f, g og h, da begge tilfælde er sandt:

a + b + c + d = 360º

OG

e + f + g + h = 360º

Til denne konfiguration er to vinkler konjugeret, hvis de er på samme side med hensyn til den fastlagte linie RS, og begge er interne eller eksterne. I det første tilfælde taler vi om interne konjugerede vinkler, mens de i det andet er eksterne konjugerede vinkler.

eksempler

I figur 2 er de udvendige vinkler de, der er uden for det område, der er afgrænset af linjerne MN og PQ, de er vinklerne A, B, G og H. Mens vinklerne, der ligger mellem de to linjer, er C, D, E og F.

Nu er det nødvendigt at analysere, hvilke vinkler der er til venstre og hvilke til højre for secant.

Til venstre for RS er vinkler A, C, E og G. Og til højre er vinkler B, D, F og H.

Vi fortsætter straks med at bestemme de konjugerede vinkelpar, i henhold til definitionen givet i det foregående afsnit:

-A og G, eksternt og til venstre for RS.

-D og F, internt og til højre for RS.

-B og H, eksternt og til højre for RS.

-C og E, internt og til venstre for RS.

Ejendom af konjugerede vinkler mellem parallelle linjer

De konjugerede vinkler mellem parallelle linjer er supplerende, dvs. deres sum er lig med 180º. På denne måde gælder følgende for figur 2:

A + G = 180º

D + F = 180º

B + H = 180º

C + E = 180º

Par med tilsvarende vinkler til parallelle linjer

De er dem, der er på den samme side af den afskårne linje, de er ikke tilstødende, og den ene af dem er intern, og den anden er ekstern. Det er vigtigt at visualisere dem, da deres mål er den samme, fordi de er modsatte vinkler ved toppunktet.

Vender vi tilbage til figur 2, identificeres de tilsvarende vinkelpar som:

-A og E

-C og G

-B og F

-D og H

Indvendige vinkler på en firformet

Kvadrilaterale er 4-sidede polygoner, blandt dem kvadratet, rektanglet, trapezoidet, parallelogrammet og rhombus. Uanset deres form er det i nogen af ​​dem rigtigt, at summen af ​​deres indre vinkler er 360º, derfor opfylder de definitionen, der blev givet i begyndelsen.

Lad os se nogle eksempler på firedoblinger og hvordan man beregner værdien af ​​deres indre vinkler i henhold til oplysningerne i de foregående afsnit:

eksempler

a) Tre af vinklerne i et firsidet mål 75º, 110º og 70º. Hvor meget skal den resterende vinkel måle?

b) Find værdien af ​​vinklen ∠Q i figur 3 i.

c) Beregn målet for vinklen ∠A i figur 3 ii.

Løsning på

Lad α være den manglende vinkel, det er tilfreds med, at:

α + 75º + 110º + 70º = 360º → α = 105º

Løsning b

Fig. 3i er en trapezoid, og to af dens indre vinkler er lige, som er markeret med en farvet firkant i hjørnerne. For dette firefilterale bekræftes følgende:

∠R + ∠S + ∠P + ∠Q = 360º; ∠S = ∠R = 90 °; ∠P = 60º

Dermed:

∠ Q = 2 x 90º + 60º = 240º

Opløsning c

Det firkantede i figur 3 ii er også en trapezoid, som følgende er sandt:

∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360º

Dermed:

4x -5 + 3x + 10 +180 = 360

7x + 5 = 180

x = (180 - 5) / 7

x = 25

For at bestemme den ønskede vinkel i sætningen bruger vi at ∠A = 4x - 5. Ved at erstatte den tidligere beregnede værdi af x følger det at followsA = (4 × 25) -5 = 95º

Øvelser

- Øvelse 1

Når du kender til, at en af ​​de viste vinkler er 125º, skal du finde målene for de 7 resterende vinkler i følgende figur og retfærdiggøre svarene.

Figur 4. Træningens linjer og vinkler 1. Kilde: F. Zapata.

Løsning

Vinkel 6 og vinkel 125º er indre konjugater, hvis sum er 180º, afhængigt af egenskaben ved konjugerede vinkler, derfor:

∠6 + 125º = 180º → ∠6 = 180º - 125º = 55º

På den anden side er and6 og ∠8 modsatte vinkler ved toppunktet, hvis mål er det samme. Derfor måler ∠8 55º.

Vinklen ∠1 er også modsat af toppunktet ved 125º, så kan vi bekræfte, at ∠1 = 125º. Vi kan også appellere til det faktum, at de tilsvarende vinkelpar har samme mål. I figuren er disse vinkler:

∠7 = 125 º

∠2 = ∠6 = 55 º

∠1 = ∠5 = 125º

∠4 = ∠8 = 55 º

- Øvelse 2

Find værdien af ​​x i følgende figur og værdierne for alle vinkler:

Figur 5. Linjer og vinkler til træning 2. Kilde: F. Zapata.

Løsning

Da de er tilsvarende par, følger det at F = 73º. Og på den anden side er summen af ​​de konjugerede par 180º, derfor:

3x + 20º + 73º = 180º

3x = 180º - 73º -20º = 87

Endelig er værdien af ​​x:

x = 87/3 = 29

Som for alle vinkler er de anført i følgende figur:

Figur 6. Vinkler fra øvelse 2. Kilde: F. Zapata.

Referencer

1. Vinkelgrupper. Komplementær, supplerende og forklarende vinkelforklaring. Gendannes fra: thisiget.com/
2. Baldor, A. 1983. Plane and Space Geometry and Trigonometry. Patria kulturgruppe.
3. Corral, M. Matematik LibreTexts: Vinkler. Gendannes fra: math.libretexts.org.
4. Mathmania. Klassificering og konstruering af vinkler ved deres måling. Gendannes fra: mathematania.com/
5. Wentworth, G. Plane Geometry. Gendannet fra: gutenberg.org.
6. Wikipedia. Konjugerede vinkler. Gendannet fra: es.wikipedia.org.